Quadratische Funktionen in allgemeiner Form
Diese Übersichtsseite zu Parabeln zeigt dir, welche Themen dazugehören und in welcher Reihenfolge du sie am besten lernst.
Was dich hier erwartet
Das Thema behandelt quadratische Funktionen der Form f(x)=ax²+bx+c, deren Graphen Parabeln sind, und beschreibt deren Eigenschaften wie Öffnungsrichtung, Scheitelpunkt, Symmetrie und Nullstellen.
Kapitel in diesem Thema
Zuordnungsvorschrift
Präge dir ein, dass allgemeine quadratische Funktionen durch die Zuordnungsvorschrift \(f(x)=ax^2+bx+c\) dargestellt werden.
Tabelle
Merke dir, dass jede Zeile einer Tabelle einem Punkt auf der Parabel der Funktion entspricht.
Parabel
Merke dir, dass der Graph einer allgemeinen quadratischen Funktion \(f(x)=ax^2+bx+c\) als Parabel bezeichnet wird.
Öffnungsrichtung des Graphen
Merke dir, dass sich eine quadratische Funktion \(f(x)=ax^2+bx+c\) nach oben öffnet, wenn \(a>0\) ist und nach unten, wenn \(a<0\) ist.
Stauchen und Strecken
Merke dir, dass eine quadratische Funktion \(f(x)=ax^2+bx+c\) gestreckt wird, falls \(|a|>1\) ist und gestaucht wird, falls \(|a|<1\) ist.
Monotonie
Zusammengefasst ändert sich das Monotonieverhalten einer quadratischen Funktion \(f(x)=ax^2+bx+c\) immer am Scheitelpunkt \(S(d|e)\).
Scheitelpunkt
Merke dir, dass du den \(x\)-Wert des Scheitelpunkts \(S_f(d|e)\) mit \(d=-\frac b{2a}\) berechnest und \(y\), indem du den berechneten Wert von \(d\) an der Stelle von \(x\) einsetzt und dann ausrechnest.
Symmetrie
Präge dir ein, dass eine quadratische Funktion immer achsensymmetrisch zur senkrechten Linie durch ihren Scheitelpunkt \(S(d|e)\) ist. Die Symmetrieachse wird durch die Gleichung \(x=d\) beschrieben.
Nullstellen
Merke dir, dass wir die Nullstelle einer quadratischen Funktion berechnen, indem wir \(f(x)=0\) setzen und dann die resultierende Gleichung \(0=ax^2+bx+c\) mit der Mitternachtsformel lösen müssen.
y-Achsenabschnitt
Merke dir, dass bei der allgemeinen quadratischen Funktion \(f(x)=ax^2+bx+c\) der \(y\)-Achsenabschnitt immer bei \(y_0=c\) liegt.
Definitionsbereich
Präge dir ein, dass der Definitionsbereich quadratischer Funktionen \(D_f=\{x\in\mathbb{R}\}\) ist.
Wertebereich
Merke dir, dass der Wertebereich einer quadratischen Funktion für \(a>0\) gleich \(W=[e;\ -\infty)\) und für \(a<0\) gleich \(W=(-\infty;\ e]\) ist. Dabei ist \(e\) der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts \(S(d|e)\) der Funktion.
Häufige Fragen
Was sind Parabeln einfach erklärt?
Eine Parabel ist der Graph einer allgemeinen quadratischen Funktion \(f(x)=ax^2+bx+c\). Sie hat die Form einer U-Form: bei positivem \(a\) ist sie nach oben geöffnet, bei negativem \(a\) nach unten. Der tiefste oder höchste Punkt heißt Scheitelpunkt \(S(d|e)\), und die Parabel ist achsensymmetrisch zur senkrechten Linie durch diesen Punkt.
Wie lautet die Formel einer Parabel?
Der Graph einer allgemeinen quadratischen Funktion \(f(x)=ax^2+bx+c\) wird als Parabel bezeichnet. Bei positivem \(a\) öffnet sie sich nach oben und hat einen tiefsten Punkt, den Scheitelpunkt. Bei negativem \(a\) öffnet sie sich nach unten und hat einen höchsten Punkt.
Welche sind die bekanntesten Parabeln?
Die bekannteste Parabel ist die Normalparabel \(f(x)=x^2\), die eine nach oben geöffnete U-Form mit Scheitelpunkt im Ursprung \((0|0)\) hat. Allgemein wird der Graph einer quadratischen Funktion \(f(x)=ax^2+bx+c\) als Parabel bezeichnet, die je nach Vorzeichen von \(a\) nach oben oder unten geöffnet ist.
Wo findet man im Alltag Parabeln?
Parabeln begegnen uns im Alltag zum Beispiel in der Form von Brückenbögen, Springbrunnen oder der Flugbahn eines Balls. Der Graph einer quadratischen Funktion \(f(x)=ax^2+bx+c\) wird als Parabel bezeichnet und ähnelt einer U-Form, die je nach Vorzeichen von \(a\) nach oben oder unten geöffnet ist.
Was ist eine Parabel für Dummies?
Eine Parabel ist der Graph einer allgemeinen quadratischen Funktion \(f(x)=ax^2+bx+c\). Sie hat die Form einer U-Form, die sich nach oben öffnet, wenn \(a>0\) ist, oder nach unten, wenn \(a<0\) ist. Der tiefste oder höchste Punkt der Parabel heißt Scheitelpunkt \(S(d|e)\), und die Parabel ist achsensymmetrisch zur senkrechten Linie durch diesen Punkt.
Für was braucht man Parabeln im Leben?
Das Material dieser Seite beschäftigt sich mit den mathematischen Eigenschaften von Parabeln, nicht mit ihrer praktischen Anwendung im Alltag. Daher reicht das Material nicht aus, um zu beantworten, wofür man Parabeln im Leben braucht.
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