Einfache gebrochen-rationale Funktionen
Du fragst dich, was Definitionsbereich gebrochen-rationale Funktion eigentlich bedeutet? Diese Seite erklärt es dir ohne Umwege und mit Beispielen.
Was dich hier erwartet
Einfache gebrochen-rationale Funktionen sind Funktionen, deren Zuordnungsvorschrift ein Bruch aus zwei ganzrationalen Ausdrücken ist. Das Thema behandelt deren Definition, Nullstellen, Schnittpunkte mit den Achsen, Extrema sowie Definitions- und Wertebereich.
Kapitel in diesem Thema
Zuordnungsvorschrift
Präge dir ein, dass die Zuordnungsvorschrift einer gebrochen-rationalen Funktion \(f(x)=\frac{a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\ldots+a_1\cdot x+a_0}{b_m\cdot x^m+b_{m-1}\cdot x^{m-1}+\ldots+b_1\cdot x+b_0}\) lautet. Im Zähler und Nenner stehen immer ganzrationale Ausdrücke.
Nullstellen erkennen
Merke dir, dass wir die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion erkennen, indem wir uns die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse im Funktionsgraphen anschauen.
Schnittpunkt mit der y-Achse
Merke dir, dass der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse einer gebrochen-rationalen Funktion immer der Punkt \(S_y\left(0|\frac{a_0}{b_0}\right)\) ist.
Extrema erkennen
Präge dir ein, dass wir die Extrema einer gebrochen-rationalen Funktion mit dem Graphen bestimmen. Außerdem bedeutet lokal in einer kleinen Umgebung und global auf der ganzen Funktion.
Definitionsbereich
Präge dir ein, dass wir den Definitionsbereich einer gebrochen-rationalen Funktion bestimmen, indem wir den Nenner gleich \(0\) setzen.
Wertebereich erkennen
Merke dir: Um den Wertebereich einer gebrochen-rationalen Funktion zu erkennen, schauen wir uns den Graphen der Funktion an. Wir müssen dabei schauen, welche \(y\)-Werte die Funktion nicht erreicht.
Häufige Fragen
Was ist der Definitionsbereich einer Bruchfunktion?
Der Definitionsbereich einer gebrochen-rationalen Funktion wird bestimmt, indem man den Nenner gleich null setzt. Die Funktion ist für alle \(x\) definiert, außer für diejenigen, die den Nenner zu null machen. Diese Stellen werden Polstellen genannt. Der Definitionsbereich ist dann \(\mathbb{R}\) ohne diese Werte, z. B. \(D_f=\{x\in\mathbb{R}\backslash\{2\}\}\).
Was ist der Definitionsbereich einer gebrochen rationalen Funktion?
Der Definitionsbereich einer gebrochen-rationalen Funktion umfasst alle reellen Zahlen, für die der Nenner nicht null ist. Um ihn zu bestimmen, setzt man den Nenner gleich null und löst nach \(x\) auf; die gefundenen Werte werden aus der Menge der reellen Zahlen ausgeschlossen. Beispielsweise ist für \(f(x)=\frac{2x^2-3x+4}{x^3-8}\) der Definitionsbereich \(D_f=\{x\in\mathbb{R}\backslash\{2\}\}\).
Was sind Definitionslücken bei gebrochenrationalen Funktionen?
Definitionslücken bei gebrochenrationalen Funktionen sind die Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist. Das ist immer dann der Fall, wenn der Nenner \(0\) wird. Um den Definitionsbereich zu bestimmen, setzt man den Nenner gleich \(0\) und schließt die gefundenen Werte aus. Diese Stellen nennt man auch Polstellen.
Wie bestimmt man die Definitionsmenge einer Bruchgleichung?
Um die Definitionsmenge einer Bruchgleichung zu bestimmen, setzt man den Nenner gleich Null, da die Funktion nicht definiert ist, wenn der Nenner Null wird. Die Werte, für die der Nenner Null ergibt, werden aus der Menge der reellen Zahlen ausgeschlossen. Der Definitionsbereich umfasst dann alle reellen Zahlen außer diesen Werten.
Wie definiere ich den Definitionsbereich?
Um den Definitionsbereich einer gebrochen-rationalen Funktion zu bestimmen, setzt du den Nenner gleich \(0\), denn die Funktion ist nicht definiert, wenn der Nenner \(0\) wird. Die Lösungen dieser Gleichung sind die Stellen, die du aus den reellen Zahlen ausschließen musst. Der Definitionsbereich ist dann \(D_f = \{x \in \mathbb{R} \backslash \{ \text{ausgeschlossene Werte} \} \}\).
Hat jede gebrochen rationale Funktion eine Definitionslücke?
Nein, nicht jede gebrochen-rationale Funktion hat eine Definitionslücke. Der Definitionsbereich wird bestimmt, indem man den Nenner gleich null setzt. Nur wenn der Nenner für einen bestimmten x-Wert null wird, ist die Funktion dort nicht definiert, was eine Definitionslücke ergibt. Es gibt aber gebrochen-rationale Funktionen, deren Nenner nie null wird, wie z.B. \(f(x)=\frac{x^{2}+4x+3}{x^2+3}\).
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