Zuordnungsvorschrift
Gebrochen-rationale Funktionen: Was steckt dahinter? Hier bekommst du eine klare, verständliche Erklärung – Schritt für Schritt.
Eine gebrochen-rationale Funktion lässt sich durch die zu sehende Zuordnungsvorschrift beschreiben. Im Zähler und im Nenner stehen jeweils ganzrationale Ausdrücke. Die Parameter \(a_0,\ldots,a_n\) und \(b_0,\ldots,b_m\) stehen für die verschiedenen Vorfaktoren, \(x^1,\ldots,x^n\) für die Potenzen im Zähler und \(x^1,\ldots,x^m\) für die Potenzen im Nenner.
Dabei unterscheiden wir gebrochen-rationale Funktionen in echte und unechte, wobei bei echten der Zählergrad der Potenzen kleiner ist als der Nennergrad der Potenzen.
Bei Unechten ist der Nennergrad der Potenzen größer als der Zählergrad der Potenzen. So können wir unechte gebrochen-rationale Funktionen auch immer in eine ganzrationale Funktion und einen echt gebrochen-rationalen Rest aufspalten.
Häufige Fragen
Wann ist eine Funktion gebrochen rational?
Eine Funktion ist gebrochen rational, wenn ihre Zuordnungsvorschrift \(f(x)=\frac{a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\ldots+a_1\cdot x+a_0}{b_m\cdot x^m+b_{m-1}\cdot x^{m-1}+\ldots+b_1\cdot x+b_0}\) lautet, wobei im Zähler und Nenner jeweils ganzrationale Ausdrücke stehen. Die Parameter \(m,n\in\mathbb{N}\) und \(m,n>1\). Man unterscheidet echte gebrochen-rationale Funktionen (Zählergrad < Nennergrad) und unechte (Zählergrad > Nennergrad).
Was ist der Unterschied zwischen ganzrationalen und gebrochen-rationalen Funktionen?
Der Unterschied liegt in der Zuordnungsvorschrift: Bei ganzrationalen Funktionen steht nur ein ganzrationaler Ausdruck, bei gebrochen-rationalen Funktionen steht im Zähler und Nenner jeweils ein ganzrationaler Ausdruck, also \(f(x)=\frac{a_n\cdot x^n+\ldots+a_0}{b_m\cdot x^m+\ldots+b_0}\). Zudem unterscheidet man bei gebrochen-rationalen Funktionen echte (Zählergrad < Nennergrad) und unechte (Zählergrad > Nennergrad), wobei sich unechte in eine ganzrationale Funktion und einen echt gebrochen-rationalen Rest aufspalten lassen.
Welche Graphen haben gebrochen-rationale Funktionen?
Gebrochen-rationale Funktionen haben Graphen, die durch eine Zuordnungsvorschrift \(f(x)=\frac{a_n\cdot x^n+\ldots+a_0}{b_m\cdot x^m+\ldots+b_0}\) beschrieben werden, wobei Zähler und Nenner ganzrationale Ausdrücke sind. Man unterscheidet echte (Zählergrad < Nennergrad) und unechte (Zählergrad > Nennergrad) gebrochen-rationale Funktionen. Bei unechten Funktionen kann man sie in eine ganzrationale Funktion und einen echt gebrochen-rationalen Rest aufspalten.
Wann ist eine Funktion echt gebrochen?
Eine gebrochen-rationale Funktion ist echt gebrochen, wenn der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad. Das bedeutet, die höchste Potenz im Zähler ist niedriger als die höchste Potenz im Nenner. Bei unechten Funktionen ist der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad.
Welche 4 Arten von Funktionen gibt es?
Das Material unterscheidet bei gebrochen-rationalen Funktionen zwei Arten: echte und unechte. Bei echten ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, bei unechten ist der Zählergrad größer. Eine Einteilung in vier Arten wird im Material nicht vorgenommen.
Was versteht man unter einer gebrochenen Funktion?
Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, deren Zuordnungsvorschrift \(f(x)=\frac{a_n\cdot x^n+\ldots+a_0}{b_m\cdot x^m+\ldots+b_0}\) lautet, wobei im Zähler und Nenner jeweils ganzrationale Ausdrücke stehen. Man unterscheidet echte gebrochen-rationale Funktionen, bei denen der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist, und unechte, bei denen der Zählergrad größer ist.