Potenzfunktionen
Hier erfährst du, was sich hinter Potenzfunktionen verbirgt, wie du es erkennst und wo es dir in der Schule begegnet.
Was dich hier erwartet
Potenzfunktionen sind Funktionen der Form f(x) = a * x^n, wobei a der Vorfaktor und n der Exponent ist. Das Thema behandelt deren Eigenschaften wie Definitions- und Wertebereich, Nullstellen, Monotonie und den Einfluss der Parameter auf den Graphen.
Kapitel in diesem Thema
Zuordnungsvorschrift
Präge dir ein, dass die Zuordnungsvorschrift einer Potenzfunktion \(f(x)=a\cdot x^n\) lautet, wobei \(a\) der Vorfaktor, \(n\) der Exponent und \(x\) die Variable ist.
Asymptotisches Verhalten
Präge dir ein, dass eine Potenzfunktion mit positiven Exponenten \(f(x)=x^n\) keine Asymptote besitzt. Eine Potenzfunktion mit negativem Exponenten \(f(x)=x^{-n}\) hat die horizontale Asymptote \(f(x)=0\) und die vertikale Asymptote \(x=0\).
Nullstellen
Präge dir ein, dass eine Potenzfunktion mit positiven Exponenten \(f(x)=a\cdot x^n\) immer die Nullstelle \(x_0\)=0 hat. Eine Potenzfunktion mit negativem Exponenten \(f(x)=x^{-n}\) besitzt keine Nullstelle.
Monotonie
Merke dir, dass die Monotonie einer Potenzfunktion \(f(x)=a\cdot x^n\) vom Exponenten \(n\) und dem Koeffizienten \(n\) abhängt. Wichtig ist zu merken, dass eine Funktion nicht komplett monoton steigend oder fallend ist, wenn ein \(x\)-Wert nicht definiert ist.
Einfluss der Parameter auf den Verlauf des Graphen
Behalte im Kopf, dass eine Potenzfunktion der Form \(f(x)=a\cdot x^n\) durch die Parameter \(a\) und \(n\) bestimmt wird. Der Faktor \(a\) beeinflusst die Ausrichtung und Streckung/Stauchung des Graphen, während der Exponent \(n\) die grundlegende Form definiert.
Definitionsbereich
Merke dir, dass der Definitionsbereich einer Potenzfunktion \(f(x)=a\cdot x^n\) mit positivem Exponenten D_f=\{x\in\mathbb{R}\} ist und bei einem negativem Exponenten D_f=\{x\in\mathbb{R}\backslash\{0\}\}.
Wertebereich
Merke dir, dass der Wertebereich einer Potenzfunktion \(f(x)=a\cdot x^n\) ganz von den Parametern \(a\) und \(n\) abhängt.
Quadratwurzelfunktion
Merke dir, dass eine Potenzfunktion mit dem Exponenten \(\frac12\) als Quadratwurzelfunktion \(f(x)=\sqrt{x}\) bezeichnet wird.
Häufige Fragen
Was gibt es für Potenzfunktionen?
Potenzfunktionen haben die Zuordnungsvorschrift \(f(x)=a\cdot x^n\) mit positivem Exponenten \(n>1\) oder negativem Exponenten \(f(x)=a\cdot x^{-n}\) mit \(n>0\). Der Exponent \(n\) bestimmt die grundlegende Form des Graphen, während der Vorfaktor \(a\) die Streckung oder Stauchung sowie die Ausrichtung beeinflusst. Bei positivem Exponenten ist der Definitionsbereich \(\mathbb{R}\), bei negativem \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Der Wertebereich hängt von \(n\) und \(a\) ab.
Welche sind alle 7 Potenzgesetze?
Das Material dieser Seite behandelt Potenzfunktionen, nicht die allgemeinen Potenzgesetze. Dafür reicht das Material dieser Seite nicht aus.
Welche sind die 5 Potenzgesetze?
Das Material dieser Seite behandelt Potenzfunktionen, nicht die allgemeinen Potenzgesetze. Daher reicht das Material dieser Seite nicht aus, um die fünf Potenzgesetze zu nennen.
Was sind die Potenzen von Funktionen?
Potenzfunktionen sind Funktionen der Form \(f(x)=a\cdot x^n\), wobei \(a\) der Vorfaktor und \(n\) der Exponent ist. Der Exponent \(n\) kann positiv oder negativ sein, und die Form des Graphen hängt von \(n\) und \(a\) ab. Bei positiven Exponenten ist der Definitionsbereich \(\mathbb{R}\), bei negativen \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
Welche vier Funktionstypen gibt es?
Das Material unterscheidet Potenzfunktionen nach dem Exponenten: positive gerade, positive ungerade, negative gerade und negative ungerade Exponenten. Diese vier Typen bestimmen jeweils das Monotonieverhalten, den Wertebereich und das asymptotische Verhalten der Funktion.
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