Umkehrfunktionen
Hier findest du den kompletten Lösungsweg für Umkehrfunktionen. Schritt für Schritt, ohne Lücken.
Voraussetzung zum Umkehren einer Funktion
Präge dir ein, dass eine Funktion umgekehrt werden kann, wenn jedem \(y\)-Wert höchstens ein \(x\)-Wert zugeordnet werden kann. Sobald eine Funktion komplett monoton steigend oder fallend ist, trifft das zu.
So geht’s
Um eine Funktion umzukehren, darf in der Ausgangsfunktion jedem \(y\)-Wert höchstens ein \(x\)-Wert zugeordnet werden. Einfach zu merken ist: Eine Funktion ist immer umkehrbar, wenn sie auf dem ganzen Definitionsbereich entweder monoton steigt oder monoton fällt. So sind zum Beispiel alle 4 Funktionen in der Grafik umkehrbar.
Übungen mit Lösung
Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.
1 Lässt sich eine Funktion umkehren die monoton steigend ist?
Ja.
2 Lässt sich die Funktion \(f(x)=x^2\) umkehren?
Nein, da jedem \(y\)-Wert mehr als einem \(x\)-Wert zugeordnet ist.
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Graph
Merke dir, dass sich alle Punkte des Graphen einer Ausgangsfunktion an der Geraden \(y=x\) spiegeln, sodass ein Punkt \((x|y)\) in einer Umkehrfunktion zu \((y|x)\) wird.
Zur ausführlichen SeiteUmkehren einer Funktion
Präge dir ein, dass wir bei der Ausgangsfunktion \(f(x)=y\) das \(x\) und \(y\) vertauschen , sodass \(f(y)=x\) ist. Dann lösen wir nach \(y\) auf und erhalten so unsere Umkehrfunktion \(f^{-1}(x)=y\).
Zur ausführlichen SeiteHäufige Fragen
Was ist eine Umkehrfunktion einfach erklärt?
Eine Umkehrfunktion kehrt die Zuordnung einer Funktion um. Damit eine Funktion umkehrbar ist, muss jedem \(y\)-Wert höchstens ein \(x\)-Wert zugeordnet werden können. Das ist der Fall, wenn die Funktion auf dem ganzen Definitionsbereich entweder monoton steigt oder monoton fällt.
Welche Umkehrfunktionen gibt es?
Das Material beschreibt, dass eine Funktion umkehrbar ist, wenn sie auf dem gesamten Definitionsbereich entweder monoton steigend oder monoton fallend ist. Es werden jedoch keine konkreten Beispiele für Umkehrfunktionen genannt. Daher reicht das Material dieser Seite nicht aus, um die Frage nach den verschiedenen Umkehrfunktionen zu beantworten.
Wie zeigt man, ob eine Funktion umkehrbar ist?
Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jedem \(y\)-Wert höchstens ein \(x\)-Wert zugeordnet werden kann. Das ist der Fall, wenn die Funktion auf dem gesamten Definitionsbereich monoton steigend oder monoton fallend ist.
Warum braucht man die Umkehrfunktion?
Die Umkehrfunktion wird benötigt, um aus einem gegebenen Funktionswert den ursprünglichen Eingabewert zu ermitteln. Dies ist möglich, wenn die Funktion umkehrbar ist, also jedem \(y\)-Wert höchstens ein \(x\)-Wert zugeordnet wird. Eine Funktion ist immer umkehrbar, wenn sie auf dem ganzen Definitionsbereich entweder monoton steigt oder monoton fällt.
Welche Beispiele gibt es für Umkehrfunktionen?
Beispiele für Umkehrfunktionen sind alle Funktionen, die auf ihrem gesamten Definitionsbereich entweder monoton steigen oder monoton fallen. Die Grafik im Material zeigt vier solche Funktionen, die umkehrbar sind.