Monotonie
Rechne Monotonie Potenzfunktion sicher: Hier lernst du den Lösungsweg Schritt für Schritt kennen.
Bei Potenzfunktionen hängt das Monotonieverhalten sowohl vom Exponenten \(n\) als auch vom Koeffizienten \(a\) ab. Eine Funktion mit einem ungeraden, positiven Exponenten \(n\) mit positivem \(a\) ist streng monoton steigend. Ist \(a\) negativ, dann ist die Funktion streng monoton fallend. In der Grafik siehst du dies anhand von Beispielgraphen.
Bei einer Potenzfunktion mit einem geraden und positiven Exponenten \(n\) hat der Graph die Form einer Parabel. So ist bei positivem \(a\) der Graph für \(x<0\) streng monoton fallend und für \(x>0\) streng monoton steigend. Bei negativem \(a\) verhält es sich umgekehrt, wie du es an den Beispielgraphen siehst.
Bei einer Funktion mit negativen, ungeraden Exponenten ist der Graph bei negativen und bei positiven \(x\)-Werten streng monoton fallend. Da die Funktion bei \(x=0\) nicht definiert ist, kann die gesamte Funktion nicht als streng monoton fallend betrachtet werden. Bei negativem \(a\) verhält es sich umgekehrt. So ist es auch in der Grafik zu sehen.
Bei einer Funktion mit negativen, geraden Exponenten ist der Graph für \(x<0\) streng monoton steigend und für \(x>0\) streng monoton fallend. Bei \(x=0\) ist die Funktion nicht definiert. Bei negativem \(a\) verhält es sich umgekehrt, wie du es auch an den Graphen erkennen kannst.
Übungen mit Lösung
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1 Beschreibe die Monotonie der Funktion \(f(x)=-2\cdot x^3\)
Die Funktion ist streng monoton fallend.
2 Beschreibe die Monotonie der Funktion \(f(x)=2\cdot\frac1{x^3}\).
Die Funktion ist für \(x<0\) und \(x>0\) streng monoton fallend, da sie nicht für \(x=0\) definiert ist, ist nicht die gesamte Funktion streng monoton fallend.
Häufige Fragen
Wie bestimmt man die Monotonie?
Um die Monotonie einer Potenzfunktion \(f(x)=a\cdot x^n\) zu bestimmen, betrachtest du den Exponenten \(n\) und den Koeffizienten \(a\). Bei ungeradem, positivem \(n\) und positivem \(a\) ist die Funktion streng monoton steigend, bei negativem \(a\) streng monoton fallend. Bei geradem, positivem \(n\) und positivem \(a\) ist sie für \(x<0\) fallend und für \(x>0\) steigend, bei negativem \(a\) umgekehrt. Bei negativen Exponenten beachte die Definitionslücke bei \(x=0\), sodass die Monotonie nur abschnittsweise betrachtet wird.
Wie lautet der Monotonie-Satz?
Der Monotonie-Satz für Potenzfunktionen \(f(x)=a\cdot x^n\) besagt, dass das Monotonieverhalten vom Exponenten \(n\) und vom Koeffizienten \(a\) abhängt. Bei ungeradem, positivem \(n\) und positivem \(a\) ist die Funktion streng monoton steigend, bei negativem \(a\) streng monoton fallend. Bei geradem, positivem \(n\) ist die Funktion für \(x<0\) und \(x>0\) unterschiedlich monoton, abhängig vom Vorzeichen von \(a\). Bei negativen Exponenten ist die Funktion an der Stelle \(x=0\) nicht definiert, daher kann sie nicht als komplett monoton betrachtet werden.
Welche Monotonie gibt es?
Die Monotonie einer Potenzfunktion \(f(x)=a\cdot x^n\) hängt vom Exponenten \(n\) und dem Koeffizienten \(a\) ab. Bei ungeradem, positivem \(n\) und positivem \(a\) ist die Funktion streng monoton steigend, bei negativem \(a\) streng monoton fallend. Bei geradem, positivem \(n\) ist sie für \(x<0\) und \(x>0\) unterschiedlich monoton, abhängig vom Vorzeichen von \(a\). Bei negativen Exponenten ist die Funktion an der Stelle \(x=0\) nicht definiert, daher kann sie nicht als komplett monoton betrachtet werden.
Was ist die Monotonie einer linearen Funktion?
Das Material behandelt die Monotonie von Potenzfunktionen, nicht von linearen Funktionen. Daher reicht das Material dieser Seite nicht aus, um die Frage zu beantworten.
Was ist ein Beispiel für Monotonie?
Ein Beispiel für Monotonie ist die Potenzfunktion \(f(x)=a\cdot x^n\) mit einem ungeraden, positiven Exponenten \(n\) und positivem \(a\). Diese Funktion ist streng monoton steigend. Ist \(a\) negativ, ist sie streng monoton fallend.