Asymptotisches Verhalten
Was ist Asymptotisches Verhalten Potenzfunktion? In den folgenden Abschnitten findest du die Antwort – kompakt und leicht nachvollziehbar.
Unter dem asymptotischen Verhalten einer Funktion versteht man, dass sich ihr Graph in einem bestimmten Bereich einer Achse (\(x\)- oder \(y\)-Achse) oder einer Geraden immer weiter annähert, ohne diese jemals vollständig zu schneiden oder zu erreichen.
Betrachten wir zum Beispiel die Funktion \(f(x)=x^{-1}\). Für sehr große negative \(x\)-Werte wie auch sehr große positive \(x\)-Werte nähert sich der Graph beliebig an die \(x-Achse\) an, ohne sie zu berühren. So ist \(y=0\) die horizontale Asymptote der Funktion.
Setzt man bei der Funktion \(f(x)=x^{-1}\) \(x\)-Werte in der Nähe von \(x=0\) ein, so wächst der Funktionswert betragsmäßig unbegrenzt. Man spricht von einer Polstelle bei \(x=0\). Diese Polstelle verursacht gleichzeitig eine vertikale Asymptote \(x=0\). Diese ist in der Grafik eingezeichnet.
Potenzfunktionen mit positivem Exponenten, wie etwa \(f(x)=x^2\), besitzen weder Polstellen noch Asymptoten, weil sich ihr Graph bei sehr großen positiven oder negativen\(x\)-Werten keiner Achse und keiner Geraden immer weiter annähert. Das ist auch an den Graphen erkennbar.
Übungen mit Lösung
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1 Weist eine Potenzfunktion \(f(x)=a\cdot x^n\) mit positivem \(n\) asymptotisches Verhalten auf?
Nein, da sich der Graph der Funktion keiner Achse oder Geraden annähert.
2 Was ist die horizontale Asymptote von \(f(x)=4\cdot\frac1{x^3}
\(y=0\)
3 Was ist die vertikale Asymptote von \(f(x)=-2\cdot\frac1{x^4}\)
\(x=0\)
Häufige Fragen
Was bedeutet asymptotisches Verhalten?
Unter dem asymptotischen Verhalten einer Funktion versteht man, dass sich ihr Graph in einem bestimmten Bereich einer Achse oder einer Geraden immer weiter annähert, ohne diese jemals vollständig zu schneiden oder zu erreichen. Beispielsweise hat die Potenzfunktion \(f(x)=x^{-1}\) die horizontale Asymptote \(f(x)=0\) und die vertikale Asymptote \(x=0\). Potenzfunktionen mit positiven Exponenten wie \(f(x)=x^2\) besitzen dagegen keine Asymptoten.
Was bedeutet asymptotisch?
Asymptotisches Verhalten bedeutet, dass sich der Graph einer Funktion in einem bestimmten Bereich einer Achse oder einer Geraden immer weiter annähert, ohne diese jemals vollständig zu schneiden oder zu erreichen. Beispielsweise hat die Funktion \(f(x)=x^{-1}\) die horizontale Asymptote \(f(x)=0\) und die vertikale Asymptote \(x=0\). Potenzfunktionen mit positiven Exponenten besitzen dagegen keine Asymptoten.
Was versteht man unter asymptotischem Verhalten?
Unter dem asymptotischen Verhalten einer Funktion versteht man, dass sich ihr Graph in einem bestimmten Bereich einer Achse oder einer Geraden immer weiter annähert, ohne diese jemals vollständig zu schneiden oder zu erreichen. Beispielsweise hat eine Potenzfunktion mit negativem Exponenten \(f(x)=x^{-n}\) die horizontale Asymptote \(f(x)=0\) und die vertikale Asymptote \(x=0\). Potenzfunktionen mit positiven Exponenten besitzen dagegen keine Asymptoten.
Was ist eine Asymptote einfach erklärt?
Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion immer weiter annähert, ohne sie jemals zu schneiden oder zu erreichen. Bei Potenzfunktionen mit negativem Exponenten wie \(f(x)=x^{-n}\) gibt es die horizontale Asymptote \(f(x)=0\) und die vertikale Asymptote \(x=0\). Potenzfunktionen mit positivem Exponenten besitzen dagegen keine Asymptoten.
Wie beschreibt man das asymptotische Verhalten?
Das asymptotische Verhalten einer Funktion beschreibt, dass sich ihr Graph in einem bestimmten Bereich einer Achse oder einer Geraden immer weiter annähert, ohne diese jemals vollständig zu schneiden oder zu erreichen. Bei Potenzfunktionen mit negativem Exponenten wie \(f(x)=x^{-1}\) nähert sich der Graph für sehr große positive oder negative \(x\)-Werte der \(x\)-Achse an, sodass \(y=0\) die horizontale Asymptote ist. Zudem gibt es bei \(x=0\) eine Polstelle, die eine vertikale Asymptote \(x=0\) verursacht.
Was heißt asymptotisch?
Asymptotisch bedeutet, dass sich der Graph einer Funktion in einem bestimmten Bereich einer Achse oder einer Geraden immer weiter annähert, ohne diese jemals vollständig zu schneiden oder zu erreichen. Zum Beispiel hat die Funktion \(f(x)=x^{-1}\) die horizontale Asymptote \(y=0\) und die vertikale Asymptote \(x=0\). Potenzfunktionen mit positiven Exponenten besitzen dagegen keine Asymptoten.