Potenzen und Wurzeln
Potenzen und Wurzeln im Überblick: was du wissen solltest, wie alles zusammenhängt und wo du weiterlernen kannst.
Was dich hier erwartet
Das Thema behandelt Potenzen als wiederholte Multiplikation einer Basis mit sich selbst und Wurzeln als Umkehroperation dazu, einschließlich spezieller Regeln für natürliche, negative und rationale Exponenten.
Kapitel in diesem Thema
Quadrierung einer rationalen Zahl
Merke dir: Das Quadrat einer Zahl ist immer positiv. Dabei ist es egal, ob die Zahl selbst negativ oder positiv ist. Wenn du eine Dezimalzahl quadrierst, berechnest du zunächst das Quadrat, ohne dabei das Komma zu beachten. Das Komma setzt du an die Stelle, die sich aus der Summe der Nachkommastellen beider Faktoren ergibt.
Kubikzahl und Kubikwurzel
Präge dir ein, dass eine Kubikzahl eine Zahl ist, die dreimal mit sich selbst multipliziert wurde. Bei einer Kubikwurzel sucht man eine Zahl, die beim dreimaligen Multiplizieren mit sich selbst den gegebenen Wert ergibt.
Potenzen mit einem natürlichen Exponenten
Merke dir, dass wir bei einer Potenz \(a^n\) eine Zahl \(a\) so oft mit sich selbst multiplizieren, wie es der natürliche Exponent \(n\) vorgibt.
Wurzeln mit einem natürlichen Wurzelexponenten
Präge dir ein, dass man bei der Wurzel \(\sqrt[n]a=b\) den Wurzelwert \(b\) sucht, welcher beim \(n\)-maligen Multiplizieren mit sich selbst den gegebenen Wert \(a\) ergibt.
Potenzen mit einem negativen Exponenten
Merke dir, dass wir eine Potenz mit einem negativen Exponenten, wie folgt umschreiben können: \(a^{-n}=\frac1{a^n}\).
Umwandlung von Wurzel- und Potenzschreibweise
Für die Umwandlung der Potenz- und Wurzelschreibweise gilt immer die Gleichung \(x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}\).
Potenzen mit einem rationalen Exponenten
Präge dir ein, dass wir einen rationalen Exponenten einer Potenz mit \(a^{\frac mn}\) darstellen können, wobei \(m,n\in\mathbb{N},\ n\neq0\) gilt.
Häufige Fragen
Wie rechnet man Potenzen mit Wurzeln?
Potenzen und Wurzeln lassen sich ineinander umwandeln: Eine Potenz mit rationalem Exponenten \(a^{\frac{m}{n}}\) entspricht der \(n\)-ten Wurzel aus \(a^m\), also \(\sqrt[n]{a^m}\). Umgekehrt kann eine Wurzel \(\sqrt[n]{x^m}\) als Potenz \(x^{\frac{m}{n}}\) geschrieben werden. Dabei gibt der Nenner \(n\) den Wurzelexponenten und der Zähler \(m\) die Potenz des Radikanden an.
Wie wandelt man Wurzeln in Potenz um?
Um eine Wurzel in eine Potenz umzuwandeln, nutzt du die Gleichung \(\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}\). Dabei wird der Wurzelexponent \(n\) zum Nenner und der Exponent des Radikanden \(m\) zum Zähler des rationalen Exponenten.
Welche sind die 5 Potenzgesetze?
Die fünf Potenzgesetze werden im Material nicht explizit als Liste aufgeführt. Es werden jedoch folgende Regeln behandelt: \(a^n = a \cdot a \cdot \ldots\) (n-mal), \(a^1 = a\), \(a^0 = 1\), \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) und \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\). Diese decken die grundlegenden Potenzgesetze ab.
Was ist der Zusammenhang zwischen Potenzieren und Wurzelziehen?
Das Potenzieren und das Wurzelziehen sind Umkehroperationen: Beim Potenzieren wird eine Zahl \(a\) (die Basis) \(n\)-mal mit sich selbst multipliziert, also \(a^n\). Beim Wurzelziehen sucht man die Zahl \(b\), die \(n\)-mal mit sich selbst multipliziert den Radikanden \(a\) ergibt, also \(\sqrt[n]{a}=b\). Die Umwandlung zwischen beiden Schreibweisen erfolgt über \(x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}\).
Wie ist die Wurzel aus 144?
Die Wurzel aus 144 ist 12, denn \(12^2 = 144\). Dies folgt aus der Definition der Quadratwurzel als Umkehroperation des Quadrierens.
Welche Rechenregeln gibt es für Wurzeln?
Wurzeln lassen sich in Potenzschreibweise umwandeln: \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\). Umgekehrt gilt \(x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}\). Zudem ist die Wurzel mit Wurzelexponent 1 gleich dem Radikanden: \(\sqrt[1]{a} = a\), während \(\sqrt[0]{a}\) nicht definiert ist.
wie berechnet man Wurzeln
Um eine Wurzel zu berechnen, sucht man die Zahl \(b\), die beim \(n\)-maligen Multiplizieren mit sich selbst den Radikanden \(a\) ergibt: \(\sqrt[n]{a}=b\). Der Wurzelexponent \(n\) gibt an, die wievielte Wurzel gezogen wird. Wurzeln lassen sich auch in Potenzschreibweise umwandeln: \(\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}\).
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