Rationale Zahlen
Noch unsicher beim Thema Rationale Zahlen Übersicht? Diese Seite liefert dir eine verständliche Definition und klärt die wichtigsten Begriffe.
Definition der rationalen Zahlen
Präge dir ein, dass rationale Zahlen alle Zahlen sind, die als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können, wobei der Nenner ungleich null ist.
Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können, wobei der Nenner ungleich null ist, wie du es auch hier formal geschrieben siehst. Diese Definition umfasst positive und negative Zahlen, sowie die Zahl null.
Sowie wir für die natürlichen Zahlen als Symbol das \(\mathbb{N}\) und für die ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\) nutzen, verwenden wir für die rationalen Zahlen das Symbol \(\mathbb{Q}\).
Übungen mit Lösung
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1 Welches Symbol verwenden wir für rationale Zahlen?
\(\mathbb{Q}\)
2 Welche Zahlen können als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden, wobei der Nenner ungleich null ist?
Rationale Zahlen.
Darstellung rationaler Zahlen auf der Zahlengeraden
Präge dir ein: Um eine rationale Zahl auf der Zahlengeraden darzustellen, bestimme zunächst die beiden nächstgelegenen ganzen Zahlen. Teile dann den Abstand gemäß dem Nenner des Bruchs ein und markiere die rationale Zahl an der entsprechenden Position.
Um eine rationale Zahl auf einer Zahlengeraden darzustellen, identifizierst du die beiden nächstgelegenen ganzen Zahlen, zwischen denen die rationale Zahl liegt. Zum Beispiel liegt die rationale Zahl 0,75 zwischen den ganzen Zahlen 0 und 1. Es ist dabei stets hilfreich, die rationale Zahl auch in ihrer Bruchform zu kennen.
Teile nun den Abstand zwischen diesen ganzen Zahlen entsprechend dem Nenner des Bruchs der rationalen Zahl ein. Zeichne dann einen Punkt an der ermittelten Position auf der Zahlengeraden ein und beschrifte diesen Punkt mit der entsprechenden rationalen Zahl. In der Grafik ist das für die Zahl 0,75 veranschaulicht.
Übungen mit Lösung
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1 In der Grafik wurde der Bereich zwischen 0 und 1 in bestimmte Abschnitte eingeteilt. Welchen Wert sollte der Nenner unserer rationalen Zahl haben, um sie hier einzuzeichnen?
Der Nenner sollte den Wert 5 haben.
2 Welche rationale Zahl wurde in der Zahlengeraden markiert?
0,25 oder \(\frac14\)
Darstellung rationaler Zahlen im Mengendiagramm
Aus dem Mengendiagramm können wir schlussfolgern, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl und jede ganze Zahl auch eine rationale Zahl ist. Umgekehrt gilt das nicht. So gibt es rationale Zahlen, die keine ganzen oder natürlichen Zahlen sind.
Um die rationalen Zahlen in einem Mengendiagramm darzustellen, stellst du dir drei Kreise vor, die alle ineinander liegen. Der innerste Kreis repräsentiert die natürlichen Zahlen und der nächste Kreis die Menge der ganzen Zahlen. Für die rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) zeichnest du nun einen Kreis um diese beiden Kreise herum.
Dabei ist jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl und jede ganze Zahl auch eine rationale Zahl. Umgekehrt gilt das nicht, dass heißt es gibt rationale Zahlen, die keine ganzen oder natürlichen Zahlen sind.
Übungen mit Lösung
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1 Gibt es rationale Zahlen, die keine ganzen Zahlen sind?
Ja.
2 Warum umfasst der Kreis der rationalen Zahlen die Kreise der natürlichen und ganzen Zahlen?
In den rationalen Zahlen sind die natürlichen und ganzen Zahlen mit beinhaltet.
Zueinander entgegengesetzte rationale Zahlen
Merke dir, dass zwei rationale Zahlen zueinander entgegengesetzt sind, wenn ihre Summe null ergibt.
So geht’s
Zwei rationale Zahlen sind zueinander entgegengesetzt, wenn ihre Summe null ergibt. Das bedeutet, jede Zahl hat ein Gegenteil, das die gleiche Größe aber das entgegengesetzte Vorzeichen hat. So sehen wir zum Beispiel, dass die entgegengesetzte Zahl von \(\frac43\) die Zahl \(-\frac43\) ist, da \(\frac43+(-\frac43)=0\) ergibt.
Übungen mit Lösung
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1 Welche Zahl ist die entgegengesetzte rationale Zahl zu \(-\frac34\)?
\(\frac34\)
2 Was ist das Ergebnis, wenn du eine rationale Zahl und ihre entgegengesetzte Zahl zusammenaddierst?
0
Vergleichen und Ordnen von rationalen Zahlen
Um rationale Zahlen zu vergleichen, musst du zunächst alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Die größere rationale Zahl ist dann diejenige mit dem größeren Zähler. Beim Ordnen ist es wichtig, negative Zahlen absteigend nach ihrem Betrag und positive Zahlen aufsteigend zu sortieren.
Um rationale Zahlen miteinander zu vergleichen, musst du alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Das erleichtert den direkten Vergleich der Zahlen.
Nachdem du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht hast, vergleichst du die Zähler der umgerechneten Brüche, wobei der größere Zähler gleichzeitig der größeren rationalen Zahl entspricht. Hier siehst du dazu eine Beispielrechnung.
Um rationale Zahlen zu ordnen, trenne zunächst die negativen von den positiven Zahlen, da negative Zahlen immer kleiner als positive sind. Ordne die negativen Zahlen absteigend nach ihrem Betrag und sortiere anschließend die positiven Zahlen in aufsteigender Reihenfolge. So siehst du es auch am Beispiel.
Übungen mit Lösung
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1 Was ist der erste Schritt, um die beiden Zahlen \(\frac57\) und \(\frac23\) miteinander zu vergleichen? (ohne auszurechnen)
Bringe beide Zahlen auf den gleichen Nenner.
2 Welches ist die größere Zahl: \(\frac34\) oder \(\frac12\)?
\(\frac34\)
Häufige Fragen
Welche sind die rationalen Zahlen?
Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die als Bruch \(\frac{a}{b}\) mit \(a, b \in \mathbb{Z}\) und \(b \neq 0\) dargestellt werden können. Diese Definition umfasst positive und negative Zahlen sowie die Zahl null. Das Symbol für rationale Zahlen ist \(\mathbb{Q}\).
Welche Zahlen sind alles rational?
Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die als Bruch \(\frac{a}{b}\) mit \(a, b \in \mathbb{Z}\) und \(b \neq 0\) dargestellt werden können. Diese Definition umfasst positive und negative Zahlen sowie die Zahl null. Jede natürliche Zahl und jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl, aber nicht umgekehrt.
Was sind rationale Zahlen für Kinder erklärt?
Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können, wobei der Nenner ungleich null ist. Das Symbol für rationale Zahlen ist \(\mathbb{Q}\). Jede natürliche und jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl, aber nicht umgekehrt.
Ist 0,5 eine rationale Zahl?
Ja, 0,5 ist eine rationale Zahl, da sie als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann, z. B. \(\frac{1}{2}\). Laut Definition sind rationale Zahlen alle Zahlen, die als Bruch \(\frac{a}{b}\) mit \(a, b \in \mathbb{Z}\) und \(b \neq 0\) geschrieben werden können. 0,5 erfüllt diese Bedingung.
Was ist eine rationale Zahl für Kinder erklärt?
Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die als Bruch \(\frac{a}{b}\) mit ganzen Zahlen \(a, b\) und \(b \neq 0\) dargestellt werden können. Dazu gehören positive und negative Zahlen sowie die Null. Jede natürliche und jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl, aber nicht umgekehrt. Das Symbol für rationale Zahlen ist \(\mathbb{Q}\).
Was sind die rationalen Zahlen von 1 bis 100?
Die rationalen Zahlen von 1 bis 100 sind alle Zahlen in diesem Bereich, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lassen. Dazu gehören alle natürlichen Zahlen (1, 2, …, 100) sowie alle Brüche und Dezimalzahlen zwischen ihnen, wie \(\frac{3}{4}\) oder 0,75. Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl, aber nicht jede rationale Zahl ist eine ganze Zahl.
was sind rationale zahlen einfach erklärt
Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die als Bruch \(\frac{a}{b}\) mit ganzen Zahlen \(a, b\) und \(b \neq 0\) dargestellt werden können. Dazu gehören positive und negative Zahlen sowie die Null. Das Symbol für rationale Zahlen ist \(\mathbb{Q}\). Jede natürliche und jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl, aber nicht umgekehrt.