Umkehren einer Funktion
Alles Wichtige zu Umkehrfunktion auf einen Blick: Definition, Bedeutung und typische Anwendungsfälle.
Eine Umkehrfunktion "kehrt" die Zuordnung einer Funktion um. Um eine Funktion umzukehren, die umkehrbar ist, nehmen wir unsere Ausgangsfunktion \(f(x)=y\) und vertauschen das \(x\) und \(y\), sodass wir \(f(y)=x\) erhalten.
Nach dem Vertauschen der Variablen müssen wir nun die Gleichung nach \(y\) auflösen. So erhalten wir unsere Umkehrfunktion \(f^{-1}(x)=y\).
Übungen mit Lösung
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1 Was ist die Umkehrfunktion von \(f(x)=2x\)?
\(f^{-1}(x)=\frac12x\)
2 Was ist die Umkehrfunktion von \(f(x)=e^x\)?
\(f^{-1}(x)=\log(x)\)
Häufige Fragen
Was ist eine Umkehrfunktion einfach erklärt?
Eine Umkehrfunktion kehrt die Zuordnung einer Funktion um. Dazu vertauscht man in der Ausgangsfunktion \(f(x)=y\) die Variablen \(x\) und \(y\), sodass \(f(y)=x\) entsteht. Anschließend löst man die Gleichung nach \(y\) auf und erhält die Umkehrfunktion \(f^{-1}(x)=y\).
Wie kann ich die Funktion umkehren?
Um eine Funktion umzukehren, vertauscht man in der Ausgangsfunktion \(f(x)=y\) die Variablen \(x\) und \(y\), sodass \(f(y)=x\) entsteht. Anschließend löst man die Gleichung nach \(y\) auf und erhält die Umkehrfunktion \(f^{-1}(x)=y\).
Was ist die Umkehrfunktion von 2x?
Um die Umkehrfunktion von \(f(x)=2x\) zu finden, vertauschen wir \(x\) und \(y\) und erhalten \(f(y)=x\), also \(2y=x\). Dann lösen wir nach \(y\) auf: \(y=\frac{x}{2}\). Die Umkehrfunktion ist daher \(f^{-1}(x)=\frac{x}{2}\).
Wie zeigt man, ob eine Funktion umkehrbar ist?
Das Material zeigt, dass eine Funktion umkehrbar ist, wenn man nach dem Vertauschen von \(x\) und \(y\) die Gleichung nach \(y\) auflösen kann. Die Umkehrfunktion \(f^{-1}(x)=y\) existiert genau dann, wenn dieser Schritt eindeutig möglich ist. Weitere Kriterien wie Injektivität oder Surjektivität werden im Material nicht behandelt.
Warum braucht man die Umkehrfunktion?
Die Umkehrfunktion kehrt die Zuordnung einer Funktion um, sodass aus \(f(x)=y\) die Beziehung \(f(y)=x\) wird. Sie wird benötigt, um aus einem gegebenen y-Wert den ursprünglichen x-Wert zu berechnen, also die Umkehrung der ursprünglichen Abbildung zu ermöglichen.
Wie lautet die Darstellung der Umkehrfunktion?
Die Darstellung der Umkehrfunktion ergibt sich, indem man bei der Ausgangsfunktion \(f(x)=y\) die Variablen \(x\) und \(y\) vertauscht, sodass \(f(y)=x\) entsteht. Anschließend löst man die Gleichung nach \(y\) auf und erhält die Umkehrfunktion \(f^{-1}(x)=y\).