Bruchgleichungen
Bruchgleichungen: So gehst du Schritt für Schritt vor. Jede Rechnung wird nachvollziehbar aufgeschlüsselt.
Grafisches Lösen
Merke dir, dass wir eine Bruchgleichung grafisch lösen, indem wir jede Seite als Funktion darstellen und dann die Schnittpunkte dieser Funktionen im Koordinatensystem ablesen.
Zum grafischen Lösen von Bruchgleichungen, wie \(\frac{x+2}{x-1}=3\), können wir die linke Seite als die Funktion \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) und die rechte Seite als Funktion \(g(x)=3\) darstellen. Anschließend zeichnen wir beide Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Zur Unterstützung empfiehlt es sich, einen Grafiktaschenrechner zu verwenden.
Die Lösungen der Bruchgleichung entsprechen den \(x\)-Werten der Punkte, an denen sich die beiden Graphen schneiden. So ist \(x=2,5\) unsere Lösung für die Gleichung \(\frac{x+2}{x-1}=3\).
Übungen mit Lösung
Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.
1 In der Grafik wurde ein Bruchgleichung durch zwei Funktionen dargestellt. Wie lautet die grafische Lösung der Bruchgleichung?
\(x=1\)
2 Um eine Bruchgleichgleichung grafisch zu lösen musst du beide Seiten der Gleichung als Funktion darstellen. Wie würdest du das bei \(\frac{x+1}{2x-3}=5\) machen?
\(\begin{align}f(x)=\frac{x+1}{2x-3},\ g(x)=5\end{align}\)
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Lösen durch Multiplizieren mit dem Hauptnenner
Präge dir ein, dass wir eine Bruchgleichung mit dem Multiplizieren des Hauptnenners lösen, indem wir zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner finden (Hauptnenner) und dann beide Seiten der Gleichung mit diesem multiplizieren. Danach wird die Gleichung mit bekannten Methoden gelöst.
Zur ausführlichen SeiteLösen durch Multiplizieren über Kreuz
Merke dir, dass du eine Bruchgleichung \(\begin{align}&\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\end{align}\) mit dem Multiplizieren über Kreuz löst, indem du diagonal über die Gleichung multiplizierst und die Produkte gleich setzt. So erhalten wir \(a\cdot d=c\cdot b\). Danach wird die Gleichung mit bekannten Methoden gelöst.
Zur ausführlichen SeiteHäufige Fragen
Wie kann man Bruchgleichungen lösen?
Bruchgleichungen lassen sich grafisch lösen, indem man jede Seite der Gleichung als Funktion darstellt und die Schnittpunkte der Graphen abliest. Dazu zeichnet man beispielsweise \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) und \(g(x)=3\) in ein Koordinatensystem. Die x-Koordinate des Schnittpunkts, hier \(x=2,5\), ist die Lösung der Bruchgleichung.
Was ist eine Bruchgleichung?
Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable im Nenner eines Bruchs vorkommt. Man kann sie grafisch lösen, indem man jede Seite als Funktion darstellt und die Schnittpunkte der Graphen abliest. Zum Beispiel wird bei der Gleichung \(\frac{x+2}{x-1}=3\) die linke Seite als \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) und die rechte als \(g(x)=3\) gezeichnet; der Schnittpunkt liefert die Lösung.
Was muss man bei Bruchgleichungen beachten?
Beim Lösen von Bruchgleichungen kannst du sie grafisch lösen, indem du jede Seite als Funktion darstellst und die Schnittpunkte der Graphen abliest. Dazu zeichnest du beide Funktionen in ein Koordinatensystem, zum Beispiel \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) und \(g(x)=3\). Die Lösungen sind die \(x\)-Werte der Schnittpunkte, wie \(x=2,5\) für die gegebene Gleichung.
Wie kann man Bruchgleichungen im Nenner ausklammern?
Das bereitgestellte Material enthält keine Informationen zum Ausklammern im Nenner von Bruchgleichungen. Dafür reicht das Material dieser Seite nicht aus.