Quadratische Gleichungen
Auf dieser Seite findest du eine klare Definition von Mitternachtsformel sowie erste Beispiele, damit alles schnell greifbar wird.
Was dich hier erwartet
Quadratische Gleichungen sind Gleichungen der Form ax²+bx+c=0. Zu ihrem Lösen werden verschiedene Verfahren wie die Mitternachtsformel, pq-Formel, quadratische Ergänzung und der Satz von Vieta behandelt.
Kapitel in diesem Thema
Lösen einfacher quadratischer Gleichungen
Merke dir, dass sich eine quadratische Gleichung der Form \(x^2=a\) lösen lässt, indem du auf beiden Seiten die Quadratwurzel ziehst. So erhältst du zwei Lösungen, eine negative und eine positive.
Lösungsformel für die allgemeine Form (Mitternachtsformel)
Präge dir die Mitternachtsformel \(\begin{align}x_{1,2}=\frac{\left(-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}\right)}{2a}\end{align}\) so fest ein, dass du sie aus dem Schlaf kannst.
Lösen mit der pq-Formel
Präge dir die \(pq\)-Formel: \(\begin{align}x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}\end{align}\) ein, bis du sie auswendig kannst.
Lösen durch quadratische Ergänzung
Merke dir, dass du bei der quadratischen Ergänzung auf beide Seiten der Gleichung \(x^{2}+px=-q\) den Ausdruck \((\frac p2)^2\) addierst, um anschließend auf der linken Seite eine binomische Formel anwenden zu können.
Lösen mit binomischen Formeln
Betrachte eine quadratische Gleichung immer aufmerksam, denn vielleicht kannst du sie einfach in eine binomische Formel umschreiben und kommst so schneller auf die Lösungen.
Satz von Vieta
Laut dem Satz von Vieta stehen die Koeffizienten und Lösungen einer quadratischen Gleichung immer in den folgenden 2 Verhältnissen: \(\begin{align}&1.\ x_1+x_2=-\frac ba\\&2.\ x_1\cdot x_2=\frac ca\end{align}\)
Häufige Fragen
Warum heißt die abc-Formel Mitternachtsformel?
Die abc-Formel wird auch Mitternachtsformel genannt, weil man sie so gut auswendig können soll, dass man sie selbst um Mitternacht aus dem Schlaf heraus aufsagen kann. Das Material betont: "Präge dir die Mitternachtsformel \(\begin{align}x_{1,2}=\frac{\left(-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}\right)}{2a}\end{align}\) so fest ein, dass du sie aus dem Schlaf kannst." Der Name unterstreicht also, wie wichtig es ist, diese Formel jederzeit parat zu haben.
Was ist der Unterschied zwischen der pq-Formel und der Mitternachtsformel?
Die Mitternachtsformel \(x_{1,2}=\frac{\left(-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}\right)}{2a}\) wird für die allgemeine Form \(ax^{2}+bx+c=0\) verwendet, während die pq-Formel \(x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}\) die Normalform \(x^{2}+px+q=0\) voraussetzt. Beide Formeln liefern die Lösungen einer quadratischen Gleichung, unterscheiden sich aber in der zugrunde liegenden Form und den Koeffizienten.
Wann muss man die Mitternachtsformel anwenden?
Die Mitternachtsformel \(x_{1,2}=\frac{\left(-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}\right)}{2a}\) wird angewendet, wenn eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form \(ax^{2}+bx+c=0\) vorliegt. Sie dient dazu, die Lösungen der Gleichung zu berechnen, wobei die Diskriminante \(D=b^{2}-4ac\) die Anzahl der Lösungen bestimmt.
Wie lautet die pq-Formel?
Die pq-Formel lautet \(x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}\). Sie wird verwendet, um quadratische Gleichungen in der Normalform \(x^{2}+px+q=0\) zu lösen. Dazu setzt du die Werte für \(p\) und \(q\) in die Formel ein und berechnest die Lösungen.
Für was ist die Mitternachtsformel gut?
Die Mitternachtsformel \(x_{1,2}=\frac{\left(-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}\right)}{2a}\) dient dazu, quadratische Gleichungen in der allgemeinen Form \(ax^{2}+bx+c=0\) zu lösen. Mit ihr kannst du die Lösungen der Gleichung berechnen, indem du die Koeffizienten \(a\), \(b\) und \(c\) einsetzt. Die Diskriminante \(D=b^{2}-4ac\) gibt dabei an, wie viele Lösungen existieren.
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