Lineare Gleichungssysteme
Ein guter Einstieg für Lineare Gleichungssysteme: Überblick, wichtigste Begriffe und Verweise auf die Detailseiten.
Grafisches Lösen
Merke dir, dass wir ein lineares Gleichungssystem grafisch lösen, indem wir jede einzelne Gleichung in die Form \(y=ax+b\) umwandeln, die entsprechenden Funktionen in ein Koordinatensystem zeichnen und der Schnittpunkt \(S(x∣y)\) die Lösungen für \(x\) und \(y\) darstellt.
Wir können ein lineares Gleichungssystem grafisch lösen, indem wir jede einzelne Gleichung in die Form \(y=ax+b\) umstellen und die entsprechenden Funktionen in ein Koordinatensystem zeichnen. Anschließend lesen wir den Schnittpunkt \(S(x|y)\) der Geraden ab, wobei die \(x\)-und \(y\)-Koordinate die Lösungen des Gleichungssystems sind.
Bei dem linearen Gleichungssystem \(\begin{align}\begin{cases}\mathrm{I}:\ y-3x=-5\\\mathrm{II}:\ y=x+1\end{cases}\end{align}\) stellen wir die erste Gleichung so um, dass wir \(y=3x-5\) erhalten. Anschließend stellen wir beide Gleichungen mit \(f(x)=3x-5\) und \(g(x)=x+1\) als Funktionen dar und zeichnen die Geraden in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.
Die Lösungen des linearen Gleichungssystem entsprechen dann den \(x\)- und \(y\)-Koordinaten des Schnittpunktes, an denen sich die beiden Geraden schneiden. So sind \(x=3\) und \(y=4\) die Lösungen für das Gleichungssystem. Sollten die beiden Geraden parallel verlaufen, hat das Gleichungssystem keine Lösung.
Übungen mit Lösung
Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.
1 Was ist laut Grafik die Lösung für das Gleichungssystem \(\begin{cases}\mathrm{I}:\ y=2x-5\\\mathrm{II}:\ y=x-2\end{cases}\)?
\(x=3,\ y=1\)
2 Was bedeutet es für die Lösungen in einem linearen Gleichungssystem, wenn die beiden Geraden parallel verlaufen und sich nie schneiden?
Es gibt keine Lösung.
Vertiefende Kapitel mit eigener Seite
Einsetzungsverfahren
Beim Einsetzungsverfahren wählst du zuerst eine der beiden Gleichungen und löst sie nach einer der beiden Variablen auf. Dann setzt du die umgestellte Gleichung in die andere Gleichung ein und kannst so den Wert der ersten Variablen berechnen.
Zur ausführlichen SeiteGleichsetzungsverfahren
Beim Gleichsetzungsverfahren stellen wir zuerst beide Gleichungen des linearen Gleichungssystems nach derselben Variablen um und setzen dann beide Ausdrücke gleich. Mit dem Auflösen der gleichgesetzten Gleichung erhalten wir den Wert unser ersten Variaben.
Zur ausführlichen SeiteAdditionsverfahren
Beim Additionsverfahren schauen wir, wie wir eine Gleichung im linearen Gleichungssystem verändern müssen, damit beim Addieren der beiden Gleichungen (oder Subtrahieren) eine Variable wegfällt. Danach kannst du dann den Wert der ersten Variablen berechnen.
Zur ausführlichen SeiteLösbarkeit
Merke dir, dass du die Lösbarkeit eines lineares Gleichungssystems bestimmen kannst, indem du die bekannten Lösungsverfahren anwendest. Dabei hat es entweder eine eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen oder keine Lösung.
Zur ausführlichen SeiteHäufige Fragen
Welche 3 Lösungsverfahren gibt es für lineare Gleichungssysteme?
Im bereitgestellten Material wird nur das grafische Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme beschrieben. Es werden keine weiteren Verfahren genannt. Daher reicht das Material dieser Seite nicht aus, um alle drei Lösungsverfahren aufzuzählen.
Was sind lineare Gleichungssysteme einfach erklärt?
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr linearen Gleichungen. Grafisch lösen wir es, indem wir jede Gleichung in die Form \(y=ax+b\) umwandeln, die Geraden in ein Koordinatensystem zeichnen und den Schnittpunkt \(S(x|y)\) ablesen. Die Koordinaten dieses Punktes sind die Lösungen für \(x\) und \(y\). Verlaufen die Geraden parallel, gibt es keine Lösung.
Wie rechnet man lineare Gleichungen?
Lineare Gleichungen löst man, indem man sie in die Form \(y=ax+b\) umwandelt und die zugehörigen Geraden in ein Koordinatensystem zeichnet. Der Schnittpunkt der Geraden liefert die Lösung für \(x\) und \(y\). Wenn die Geraden parallel verlaufen, gibt es keine Lösung.
Welche Arten von linearen Gleichungssystemen gibt es?
Im bereitgestellten Material werden lineare Gleichungssysteme anhand ihrer Lösbarkeit unterschieden: Sie können genau eine Lösung haben (Schnittpunkt der Geraden) oder keine Lösung, wenn die Geraden parallel verlaufen. Weitere Arten wie überbestimmte oder unterbestimmte Systeme werden nicht erwähnt.
Wie löst man lineare Gleichungssysteme?
Lineare Gleichungssysteme lassen sich grafisch lösen, indem man jede Gleichung in die Form \(y=ax+b\) umwandelt, die zugehörigen Geraden in ein Koordinatensystem zeichnet und den Schnittpunkt \(S(x|y)\) abliest. Die Koordinaten dieses Schnittpunkts sind die Lösungen für \(x\) und \(y\). Verlaufen die Geraden parallel, hat das System keine Lösung.
Welche drei Methoden gibt es zum Lösen linearer Gleichungen?
Im bereitgestellten Material wird nur das grafische Lösen linearer Gleichungssysteme beschrieben. Es werden keine drei Methoden genannt. Dafür reicht das Material dieser Seite nicht aus.