Satz von Vieta
Satz von Vieta: Was steckt dahinter? Hier bekommst du eine klare, verständliche Erklärung – Schritt für Schritt.
Für eine quadratische Gleichung \(ax^2+bx+c=0\) besagt der Satz von Vieta, dass die Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) im festen Verhältnis zu den Koeffizienten \(a,\ b\) und \(c\) stehen. So gelten die hier zu sehenden Gleichungen.
Um zum Beispiel die Lösungen für die quadratische Gleichung \(2x^2+4x-6=0\) zu finden, setzen wir zuerst die Koeffizienten ein. Danach suchen wir 2 Zahlen, für die beide Gleichungen zutreffen. In unserem Beispiel sehen wir mit etwas probieren, dass \(1-3=-2\) und \(1\cdot(-3)=-3\) ist, sodass \(x_1=1\) und \(x_2=-3\) unsere Lösungen sind.
Übungen mit Lösung
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1 Welches Verhältnis gilt für die quadratische Gleichung \(4x^2+6x+2=0\) laut dem Satz von Vieta neben \(x_1\cdot x_2=\frac 24\) noch?
\(x_1+x_2=-\frac 64\)
2 Laut dem Satz von Vieta stehen die Koeffizienten von \(ax^2+bx+c=0\) im festen Verhältnis zu den Lösungen. Welches Verhältnis gilt neben \(x_1+x_2=-\frac ba\) noch?
\(x_1\cdot x_2=\frac ca\)
Häufige Fragen
Wie geht der Satz von Vieta?
Der Satz von Vieta besagt, dass für eine quadratische Gleichung \(ax^2+bx+c=0\) die Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) in festen Verhältnissen zu den Koeffizienten stehen: \(x_1+x_2=-\frac ba\) und \(x_1\cdot x_2=\frac ca\). Mit diesen Gleichungen kann man die Lösungen durch Probieren finden, indem man zwei Zahlen sucht, die beide Bedingungen erfüllen.
Ist der Satz von Vieta die pq-Formel?
Nein, der Satz von Vieta ist nicht die pq-Formel. Der Satz von Vieta beschreibt den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und den Lösungen einer quadratischen Gleichung: \(x_1+x_2=-\frac ba\) und \(x_1\cdot x_2=\frac ca\). Die pq-Formel ist eine andere Methode zum Lösen quadratischer Gleichungen.
Was ist der Satz der Nullstelle?
Der Satz von Vieta beschreibt den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung \(ax^2+bx+c=0\) und ihren Lösungen \(x_1\) und \(x_2\). Er besagt, dass die Summe der Lösungen \(x_1+x_2 = -\frac{b}{a}\) und das Produkt \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\) ist. Mit diesen Beziehungen kann man die Lösungen durch Probieren finden.
Wie lautet die Linearfaktorzerlegung und der Satz von Vieta?
Der Satz von Vieta besagt für eine quadratische Gleichung \(ax^2+bx+c=0\), dass die Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) in den Verhältnissen \(x_1+x_2=-\frac ba\) und \(x_1\cdot x_2=\frac ca\) stehen. Die Linearfaktorzerlegung ergibt sich daraus, dass die Gleichung als \(a(x-x_1)(x-x_2)=0\) geschrieben werden kann, wobei \(x_1\) und \(x_2\) die Lösungen sind.
Woher kommt der Satz von Vieta?
Der Satz von Vieta ist nach dem französischen Mathematiker François Viète benannt, der im 16. Jahrhundert lebte. Er entdeckte den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung und ihren Lösungen. Das Material zeigt, dass für eine Gleichung \(ax^2+bx+c=0\) die Beziehungen \(x_1+x_2=-\frac ba\) und \(x_1\cdot x_2=\frac ca\) gelten.