Einfluss der Parameter auf den Verlauf des Graphen, Definitions- und Wertebereich und Exponentielle Regression
Ein guter Einstieg für Exponentialfunktion Parameter: Überblick, wichtigste Begriffe und Verweise auf die Detailseiten.
Einfluss der Parameter auf den Verlauf des Graphen
Präge dir ein, dass bei Exponentialfunktionen der Parameter \(a\) der Streckungs- bzw. Stauchungsfaktor ist. Der Parameter \(b\) ist der Wachstumsfaktor der Funktionen.
Bei einer Exponentialfunktion \(f(x)=a\cdot b^x\) bestimmt der Parameter \(a\), wie die Funktion gestreckt oder gestaucht wird. So wird die Funktion für \(|a|>1\) gestreckt und für \(0<|a|<1\) gestaucht. Ist \(a\) negativ, wird der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt. In der Grafik sehen wir das nochmal genauer.
Der Parameter \(b\) ist der Wachstumsfaktor der Funktion. Falls \(b>1\) steigt der Graph mit zunehmenden \(x\) exponentiell an. Falls \(0< b<1\) ist, fällt der Graph mit zunehmendem \(x\) exponentiell ab. Dabei nähert sich der Graph zwar stetig der \(x\)-Achse, erreicht jedoch niemals \(y=0\).
Bei einer Exponentialfunktion \(f(x)=a\cdot b^{(x+c)}+d\) bestimmt der Parameter \(c\) die Verschiebung des Graphen in \(x\)-Richtung.
Der Parameter \(d\) bestimmt die Verschiebung des Graphen in \(y\)-Richtung.
Übungen mit Lösung
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1 Was passiert mit dem Graphen einer Exponentialfunktion, wenn der Parameter \(0<\vert a\vert<1\) ist?
Dann wird die Exponentialfunktion gestaucht.
2 Was passiert mit dem Graphen einer Exponentialfunktion \(f(x)=a\cdot b^x\), wenn der Parameter \(0<|a|<1\) ist?
Dann wird die Exponentialfunktion gestaucht.
3 Was passiert mit dem Graphen einer Exponentialfunktion \(f(x)=a\cdot b^x\), wenn der Parameter \(|a|>1\) ist?
Dann wird die Exponentialfunktion gestreckt.
Definitions- und Wertebereich
Zusammenfassend ist der Definitionsbereich bei Exponentialfunktionen \(D_f=\{x\in\mathbb{R}\}\). Der Wertebereich beträgt bei \(a>0\): \(W_f=y\in\mathbb{R}^+\) und bei \(a<0\): \(W_f=y\in\mathbb{R}^-\).
Der Definitionsbereich einer Exponentialfunktion \(f(x)=a\cdot b^x\) umfasst den gesamten Bereich der reellen Zahlen, da du für \(x\) jede reelle Zahl in die Funktion einsetzen kannst und einen gültigen \(y\)-Wert erhältst. Man nutzt dafür die zu sehende Schreibweise.
Bei Exponentialfunktionen \(a\cdot b^x\) hängt der Wertebereich vom Parameter \(a\) ab. Für positive \(a\) ist der Wertebereich die Menge aller positiven reellen Zahlen, und für negative \(a\) ist der Wertebereich die Menge aller negativen reellen Zahlen. Der Parameter \(b\) ändert den Wertebereich nicht, solange \(b>0\) ist.
Übungen mit Lösung
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1 Für welche x-Werte ist eine Logarithmusfunktion definiert?
Für alle x-Werte die größer als 0 sind.
2 Welche \(y\)-Werte nimmt eine Exponentialfunktion \(f(x)=a\cdot b^x\) an, wenn \(a>0\) und \(b>0\)?
Sie nimmt alle positiven reellen Zahlen an.
3 Welche y-Werte nimmt eine Logarithmusfunktion an?
Die Logarithmusfunktion nimmt alle reellen Zahlen an, also ist \(W=\mathbb{R}\)
Exponentielle Regression
Merke dir, dass du bei der exponentiellen Regression deine Messdaten \((x,y)\) in den Taschenrechner eingibst und dann die Funktion \(f(x)=a\cdot b^x\) auswählst.
Das Ziel der exponentiellen Regression ist es, eine Exponentialfunktion \(f(x)=a\cdot b^x\) zu finden, die gut zu einer gegebenen Menge von Daten passt. Man nutzt diese Methode, um Zusammenhänge bei schnell wachsenden oder abnehmenden Werten zu erkennen, wie zum Beispiel bei Bevölkerungswachstum oder radioaktivem Zerfall.
Wir verwenden die exponentielle Regression, wenn die Messdaten nicht linear, sondern exponentiell verlaufen. Wenn du vermutest, dass ein Zusammenhang exponentiell ist, kannst du mithilfe dieser Methode überprüfen, wie gut die Daten zu einer exponentiellen Kurve passen.
Bei der exponentiellen Regression gibst du deine Messdaten \((x,y)\) in den Taschenrechner ein und wählst dann die Funktion \(f(x)=a\cdot b^x\) aus. Der Taschenrechner wählt dann die Parameter \(a\) und \(b\), sodass die Kurve optimal zu den Daten passt. Für die Werte aus unserer Beispieltabelle wurde die Exponentialfunktion \(f(x)=2\cdot1,23^x\) erzeugt.
Übungen mit Lösung
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1 In der Abbildung siehst du mehrere Punkte und die zugehörige exponentielle Regressionskurve. Die Regressionsfunktion lautet \(f(x)=0,2\cdot2^x\). Welche Zahl beschreibt in diesem Zusammenhang die Wachstumsrate?
Die Wachstumsrate beträgt hier genau 2.
2 In der Abbildung siehst du mehrere Punkte und die zugehörige exponentielle Regressionskurve. Die Regressionsfunktion lautet \(f(x)=3\cdot1,17^x\). Welche Zahl beschreibt in diesem Zusammenhang den Anfangswert?
Der Anfangswert ist hier die Zahl 3.