Monotonie
So löst du Aufgaben zu Monotonie Exponentialfunktion – mit klaren Zwischenschritten und einem durchgerechneten Beispiel.
Eine Exponentialfunktion der Form \(f(x)=a\cdot b^x\) ist streng monoton steigend, wenn \(a>0\) und \(b>1\) ist. In der Grafik sehen wir das anhand der Funktion \(f(x)=2^x\).
Eine Exponentialfunktion der Form \(f(x)=a\cdot b^x\) ist streng monoton fallend, wenn \(a>0\) und \(0< b<1\). So auch in unserer Beispielfunktion \(f(x)=0,5^x\).
Eine Exponentialfunktion der Form \(f(x)=a\cdot b^x\) ist streng monoton fallend, wenn \(a<0\) und \(b>1\). Genauso sehen wir das in der Grafik für \(f(x)=-1\cdot2^x\).
Eine Exponentialfunktion der Form \(f(x)=a\cdot b^x\) ist streng monoton steigend, wenn \(a<0\) und \(0< b<1\) ist. In der Grafik ist das für die Funktion \(f(x)=-1\cdot0,5^x\) zu sehen.
Übungen mit Lösung
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1 Welche Monotonie besitzt die Exponentialfunktion \(f(x)=a\cdot b^x\), wenn \(a<0\) und \(b>1\) ist?
Die Funktion ist monoton fallend.
2 Welche Monotonie besitzt die Exponentialfunktion \(f(x)=a\cdot b^x\), wenn \(a<0\) und \(0< b<1\) ist?
Die Funktion ist monoton steigend.
Häufige Fragen
Wie bestimmt man die Monotonie?
Die Monotonie einer Exponentialfunktion \(f(x)=a\cdot b^x\) bestimmt man anhand der Vorzeichen von \(a\) und \(b\). Ist \(a>0\) und \(b>1\) oder \(a<0\) und \(0<b<1\), ist die Funktion streng monoton steigend. Ist \(a>0\) und \(0<b<1\) oder \(a<0\) und \(b>1\), ist sie streng monoton fallend.
Wie lautet der Monotonie-Satz?
Der Monotonie-Satz für Exponentialfunktionen der Form \(f(x)=a\cdot b^x\) besagt: Sie ist streng monoton steigend, wenn \(a>0,\ b>1\) oder \(a<0,\ 0<b<1\) ist. Streng monoton fallend ist sie bei \(a>0,\ 0<b<1\) oder \(a<0,\ b>1\).
Welche Monotonie gibt es?
Exponentialfunktionen der Form \(f(x)=a\cdot b^x\) können entweder streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein. Die Monotonie hängt von den Vorzeichen und Werten von \(a\) und \(b\) ab: Ist \(a>0,\; b>1\) oder \(a<0,\; 0<b<1\), ist die Funktion streng monoton steigend. Ist \(a>0,\; 0<b<1\) oder \(a<0,\; b>1\), ist sie streng monoton fallend.
Was ist die Monotonie einer linearen Funktion?
Das Material behandelt ausschließlich die Monotonie von Exponentialfunktionen, nicht von linearen Funktionen. Dafür reicht das Material dieser Seite nicht aus.
Was ist ein Beispiel für Monotonie?
Ein Beispiel für Monotonie ist die Exponentialfunktion \(f(x)=2^x\), die wegen \(a>0\) und \(b>1\) streng monoton steigend ist. Ein weiteres Beispiel ist \(f(x)=0,5^x\), die mit \(a>0\) und \(0<b<1\) streng monoton fallend verläuft.