Lösen von Wurzelgleichungen
Beispiele zu Wurzelgleichungen Beispiele: hier findest du typische Aufgabenstellungen mit vollständigem Lösungsweg.
Um eine Wurzelgleichung zu lösen, müssen wir zuerst die Gleichung so umformen, dass der Wurzelterm ganz allein auf einer Seite steht. So haben wir in unserer Beispielgleichung \(2\) von beiden Seiten subtrahiert.
Sobald der Wurzelterm isoliert ist, potenzierst du beide Seiten der Gleichung und löst anschließend die so entstandene Gleichung. Achte darauf, dass das Potenzieren keine Äquivalenzumformung darstellt. So erhalten wir für \(x=81\).
Die ausgerechneten Lösungen für \(x\) müssen wir nun in unsere Ursprungsgleichung einsetzen. Da wir potenziert haben, müssen wir noch überprüfen, ob diese tatsächlich Lösungen der Wurzelgleichung sind. Setzen wir \(x=81\) in unsere Beispielgleichung ein, ergibt sich eine wahre Aussage, weshalb \(x=81\) eine gültige Lösung darstellt.
Übungen mit Lösung
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1 Was ist der erste Schritt beim Lösen der Wurzelgleichung \(\sqrt[2]{4x+2}-3=6\)?
Wir isolieren zuerst den Wurzelterm, indem wir zuerst beide Seiten der Gleichung mit 3 addieren.
2 Was ist der erste Schritt beim Lösen der Wurzelgleichung \(\sqrt[3]{3x+4}=2\)?
Wir potenzieren beide Seiten der Gleichung mit 3, sodass wir \(3x+4=8\) erhalten.
Häufige Fragen
Wie löse ich Wurzelgleichungen?
Um Wurzelgleichungen zu lösen, isolierst du zuerst den Wurzelterm, wie im Beispiel \(\sqrt x+2=11\) durch Subtraktion von 2 zu \(\sqrt x=9\). Dann potenzierst du beide Seiten, hier mit \((\ )^2\), und erhältst \(x=81\). Abschließend setzt du den Wert in die Ausgangsgleichung ein, um die Lösung zu überprüfen: \(\sqrt{81}+2=11\) ergibt eine wahre Aussage.
Was ist eine Wurzelgleichung?
Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable unter einer Wurzel steht, wie zum Beispiel \(\sqrt{x}+2=11\). Um sie zu lösen, isoliert man zuerst den Wurzelterm, potenziert dann beide Seiten und überprüft die erhaltene Lösung durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung.
Wie ist die Wurzel aus 25?
Die Wurzel aus 25 ist 5, da \(\sqrt{25}=5\). Dies folgt aus der Definition der Quadratwurzel. Im Material wird dies nicht explizit behandelt, aber es ist eine grundlegende Rechenregel.