Gleichsetzungsverfahren
Hier findest du den kompletten Lösungsweg für Gleichsetzungsverfahren. Schritt für Schritt, ohne Lücken.
Um ein lineares Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren zu lösen, stellen wir zuerst beide Gleichungen nach derselben Variablen um, sodass wir die beiden Ausdrücke gleichsetzen können. In unserem Beispiel sind beide Gleichungen bereits nach \(y\) umgestellt, weshalb wir sie direkt gleichsetzen können.
Nachdem wir die Gleichungen gleichgesetzt haben, lösen wir die resultierende Gleichung nach \(x\) auf, um den Wert für \(x\) zu bestimmen. Durch die zu sehende Berechnung erhalten wir \(x=2\).
Den ermittelten Wert für \(x\) setzen wir nun in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um den Wert der anderen Variable \(y\) zu erhalten. In unserem Beispiel setzen wir \(x=2\) in die erste Gleichung ein und erhalten durch die Berechnung \(y=5\). Damit ist unser lineares Gleichungssystem mit \(x=2,\ y=5\) gelöst.
Übungen mit Lösung
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1 Wir haben das lineare Gleichungssystem \(\begin{cases}I:\ y=4x-3\\II:\ y=2x+4\end{cases}\) gegeben. Wie setzen wir nun die zwei Ausdrücke gleich?
WIr setzen die Ausdrücke so gleich: \(4x-3=2x+4\)
2 Was ist der erste Schritt bevor wir das Gleichsetzungsverfahren bei einem linearen Gleichungssystem anwenden können?
Wir stellen zuerst beide Gleichungen nach derselben Variablen um.
Häufige Fragen
Wie geht das Gleichsetzungsverfahren?
Beim Gleichsetzungsverfahren stellst du zuerst beide Gleichungen eines linearen Gleichungssystems nach derselben Variablen um. Dann setzt du die beiden Ausdrücke gleich und löst die entstandene Gleichung nach der anderen Variablen auf. Den erhaltenen Wert setzt du in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um die zweite Variable zu berechnen.
Welche Beispiele gibt es für Gleichsetzungsverfahren?
Ein Beispiel für das Gleichsetzungsverfahren ist das lineare Gleichungssystem \(\begin{cases}I:\ y=3x-1\\II:\ y=-2x+9\end{cases}\). Hier sind beide Gleichungen bereits nach \(y\) umgestellt, sodass wir \(3x-1=-2x+9\) gleichsetzen können. Nach Auflösen erhalten wir \(x=2\) und durch Einsetzen in die erste Gleichung \(y=5\).
Wann bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an?
Das Gleichsetzungsverfahren bietet sich an, wenn beide Gleichungen eines linearen Gleichungssystems bereits nach derselben Variablen umgestellt sind, sodass man sie direkt gleichsetzen kann. Es ist auch dann geeignet, wenn sich beide Gleichungen leicht nach derselben Variablen umstellen lassen.
Wie funktioniert Gleichsetzung?
Beim Gleichsetzungsverfahren stellst du zuerst beide Gleichungen eines linearen Gleichungssystems nach derselben Variablen um. Dann setzt du die beiden Ausdrücke gleich, wie zum Beispiel \(3x-1=-2x+9\). Durch Auflösen dieser Gleichung erhältst du den Wert der ersten Variablen, z. B. \(x=2\). Diesen Wert setzt du in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um die andere Variable zu berechnen, z. B. \(y=5\).
Wann braucht man das Gleichsetzungsverfahren?
Das Gleichsetzungsverfahren wird angewendet, wenn beide Gleichungen eines linearen Gleichungssystems nach derselben Variablen umgestellt sind oder umgestellt werden können. Dann setzt man die beiden Ausdrücke gleich, löst nach der verbleibenden Variablen auf und setzt den Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein.