Darstellung reeller Zahlen im Mengendiagramm, Vergleichen und Ordnen von reellen Zahlen und Runden von reellen Zahlen
Reelle Zahlen im Mengendiagramm: ein Überblick über das Thema mit allen wichtigen Teilbereichen.
Darstellung reeller Zahlen im Mengendiagramm
Aus dem Mengendiagramm können wir schlussfolgern, dass jede natürliche Zahl, ganze Zahl und rationale Zahl eine reelle Zahl ist. Umgekehrt gilt das nicht. Eine reelle Zahl ist entweder rational oder irrational, aber nie beides.
Um die reellen Zahlen in einem Mengendiagramm darzustellen, stellst du dir vier ineinander liegende Kreise vor. Die drei kleineren repräsentieren die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen. Alles, was nicht rational ist, gehört zu den irrationalen Zahlen, die gemeinsam mit den rationalen den äußeren Kreis der reellen Zahlen bilden.
Jede natürliche, ganze und rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl. Umgekehrt gilt das nicht. Eine rationale Zahl ist niemals irrational, und eine irrationale Zahl ist niemals rational. Demzufolge ist eine reelle Zahl immer entweder rational oder irrational, aber nie beides.
Übungen mit Lösung
Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.
1 Aus welchen zwei Zahlenmengen werden die reellen Zahlen gebildet?
Aus den rationalen und den irrationalen Zahlen
2 Gibt es reelle Zahlen, die gleichzeitig rational und irrational sind?
Nein.
Vergleichen und Ordnen von reellen Zahlen
Merke dir, dass du reelle Zahlen in ihre Dezimaldarstellung bringen solltest, damit du sie besser vergleichen kannst. Dabei solltest du irrationale Zahlen auf eine, für den Kontext ausreichende, Nachkommastelle runden. Beim Ordnen verwendest du die Vergleichsmethoden und trennst negative von positiven Zahlen.
Um reelle Zahlen miteinander zu vergleichen, ist es hilfreich, sie in ihre Dezimaldarstellung zu bringen. Durch den Vergleich der Stellenwerte von links nach rechts kannst du leicht feststellen, welche Zahl größer oder kleiner ist.
Liegen die reellen Zahlen als irrationale Zahlen vor, hilft es, sie auf die Nachkommastelle zu runden, die für den jeweiligen Kontext ausreichend ist.
Um reelle Zahlen zu ordnen, wende die Methoden für das Vergleichen von reellen Zahlen an und trenne dann die negativen von den positiven Zahlen. Ordne die negativen Zahlen absteigend nach ihrem Betrag und sortiere anschließend die positiven Zahlen in aufsteigender Reihenfolge.
Übungen mit Lösung
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1 Was ist der erste Schritt, um die beiden Zahlen \(\pi\) und \(3,14\) miteinander zu vergleichen? (ohne auszurechnen)
Die Zahl \(\pi\) auf die 3. Nachkommastelle zu runden.
2 Welches ist die größere Zahl: \(\frac34\) oder \(\sqrt2\)?
\(\sqrt2\)
Runden von reellen Zahlen
Merke dir, dass Runden bei schwierigen Dezimalzahlen oder irrationalen Zahlen nützlich ist. Das Runden läuft an sich wie bei den rationalen Zahlen ab. Die Zielziffer wird um eins erhöht, wenn die Ziffer rechts davon 5 oder größer ist und bleibt unverändert, wenn die Ziffer rechts davon kleiner als 5 ist.
Das Runden von reellen Zahlen ist nützlich, wenn du mit schwierigen Dezimalzahlen oder irrationalen Zahlen arbeitest. Beim Runden musst du entscheiden, auf welche Stelle du die Zahl runden möchtest. Also zum Beispiel die nächste ganze Zahl, die erste Dezimalstelle, usw.
Wie beim Runden von rationalen Zahlen wird auch bei reellen Zahlen die Zielziffer um eins erhöht wird, wenn die Ziffer rechts davon 5 oder größer ist. Ist die Ziffer kleiner als 5, bleibt die Zielziffer unverändert. Hier findest du die Zahl \(\pi\) auf die 4. Dezimalstelle gerundet.
Übungen mit Lösung
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1 Angenommen, du hast die reelle Zahl 8,765 gegeben. Was ist sie gerundet auf die zweite Dezimalstelle?
8,77
2 Wenn die reelle Zahl 3,14159 auf die dritte Dezimalstelle gerundet wird, wie lautet die gerundete Zahl?
3,142