Verschiebung der Normalparabel in x-Richtung, Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung und Einfluss der Parameter a, d und e auf den Verlauf des Graphen

Gymnasium, Klasse 9–10 Realschule, Klasse 9–10

Alles Wichtige zu Normalparabel verschieben auf einer Seite – klar strukturiert und mit weiterführenden Links.

Verschiebung der Normalparabel in x-Richtung

Merke dir, dass die Parabel der Funktion \(f(x)=a(x-d)^2+e\) nach rechts verschoben wird, falls \(d>0\) ist und nach links verschoben wird, falls \(d<0\) ist.

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Bei einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform \(f(x)=a(x-d)^2+e\) kann die Parabel durch den Parameter \(d\) in \(x\)-Richtung verschoben werden. Die Verschiebung ist dabei nicht ganz intuitiv, denn bei positivem \(d\), wie zum Beispiel bei \(f(x)=(x-3)^2\) verschiebt sich die Parabel 3 Einheiten nach rechts.

\begin{align}&d>0\rightarrow\text{Parabel verschiebt sich nach rechts}\\&\text{Beispiel: }f(x)=(x-3)^2\\&\Rightarrow d=3:\text{Parabel verschiebt sich 3 Einheiten nach rechts}\end{align}

Bei negativem \(d\), wie zum Beispiel bei \(f(x)=(x-(-3))^2=(x+3)^2\) verschiebt sich die Parabel 3 Einheiten nach links.

\begin{align}&d<0\rightarrow\text{Parabel verschiebt sich nach links}\\&\text{Beispiel: }f(x)=(x-(-3))^2=(x+3)^2\\&\Rightarrow d=-3:\text{Parabel verschiebt sich 3 Einheiten nach links}\end{align}

Übungen mit Lösung

Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.

1 Um wie viele Einheiten wird die quadratische Funktion \(f(x)=2(x-1)^2+3\) nach links oder rechts verschoben?

Lösung

Um eine Einheit nach rechts.

2 Um wie viele Einheiten wird die quadratische Funktion \(f(x)=2(x+3)^2-1\) nach links oder rechts verschoben?

Lösung

um 3 Einheiten nach links

Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung

Merke dir, dass die Parabel der Funktion \(f(x)=a(x-d)^2+e\) nach oben verschoben wird, falls \(e>0\) ist und nach unten verschoben wird, falls \(e<0\) ist.

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So geht’s

Falls die quadratische Funktion in der Scheitelpunktform \(f(x)=a(x-d)^2+e\) vorliegt, können wir die Verschiebung in \(y\)-Richtung bestimmen. Bei positivem \(e\) wird die Parabel nach oben verschoben und bei negativem \(e\) wird die Parabel nach unten verschoben. Das kannst du auch gut an der Grafik für \(e=2\) und \(e=-2\) sehen.

\begin{align}&f(x)=a(x-d)^2+e\\&\Rightarrow e>0:\text{ verschiebt nach oben}\\&\Rightarrow e<0:\text{ verschiebt nach unten}\end{align}

Übungen mit Lösung

Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.

1 Um wie viele Einheiten wird die quadratische Funktion \(f(x)=(x+3)^2-2\) nach oben oder unten verschoben?

Lösung

Um 2 Einheiten nach unten

2 Um wie viele Einheiten wird die quadratische Funktion \(f(x)=4(x-1)^2+3\) nach oben oder unten verschoben?

Lösung

Um 3 Einheiten nach oben

Einfluss der Parameter a, d und e auf den Verlauf des Graphen

Merke dir, dass die Parameter \(a\), \(d\) und \(e\) den Verlauf der Parabel sehr beliebig ändern. Dabei bestimmt \(a\) die Öffnungsrichtung, Streckung und Stauchung. Der Parameter \(d\) bestimmt die Verschiebung in \(x\)-Richtung und \(e\) die Verschiebung in \(y\)-Richtung.

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Der Graph einer quadratischen Funktion wird maßgeblich durch die Parameter \(a\), \(d\) und \(e\) beeinflusst. Jeder dieser Parameter hat einen speziellen Einfluss auf die Lage und die Form der Parabel.

y=a\cdot(x-d)^2+e

Für \(|a|>1\) wird die Parabel gestreckt und für \(0<|a|<1\) wird sie gestaucht. Falls \(a\) negativ ist öffnet sich die Parabel nach unten. So ist die Funktion \(f(x)=-0,5x^2\) um den Faktor 0,5 gestaucht und öffnet sich nach unten.

\begin{align}|a|>1&\rightarrow\text{Parabel wird gestreckt}\\0<|a|<1&\rightarrow\text{Parabel wird gestaucht}\\a>0&\rightarrow\text{öffnet nach oben}\\0< a&\rightarrow\text{öffnet nach unten}\end{align}

Für \(d>0\) wird die Parabel um \(d\) Einheiten nach rechts verschoben und für \(d<0\) wird sie \(d\) Einheiten nach links verschoben. So wird durch \(d=2\) die Gleichung \(f(x)=-0,5x^2\) mit \(f(x)=-0,5(x-2)^2\) um 2 Einheiten nach rechts verschoben.

\begin{align}&d>0\rightarrow\text{ verschiebt nach rechts}\\& d<0\rightarrow\text{ verschiebt nach links}\end{align}

Für \(e>0\) wird die Parabel \(e\) Einheiten nach oben verschoben und für \(e<0\) wird die Parabel \(e\) Einheiten nach unten verschoben. So wird durch \(e=4\) die Gleichung \(f(x)=-0,5(x-2)^2\) mit \(f(x)=-0,5(x-2)^2+4\) um 4 Einheiten nach oben verschoben.

\begin{align}&e>0\rightarrow\text{ verschiebt nach oben}\\& e<0\rightarrow\text{ verschiebt nach unten}\end{align}

Mit den Parametern \(a\), \(d\) und \(e\) lässt sich der Verlauf der Parabel sehr beliebig ändern. So erhalten wir zum Beispiel mit \(f(x)=-0,5(x-2)^2+4\) eine Parabel, die im Vergleich zur Normalparabel \(f(x)=x^2\) um 0,5 gestaucht ist, sich nach unten öffnet, 2 Einheiten nach rechts verschoben ist und 4 Einheiten nach oben verschoben ist.

Übungen mit Lösung

Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.

1 Was passiert mit der Parabel einer quadratischen Funktion der Form \(f(x)=a\cdot(x-d)^2+e\), wenn \(d=3\) ist?

Lösung

Die Parabel verschiebt sich um drei Einheiten nach rechts.

2 Was passiert mit der Parabel einer quadratischen Funktion der Form \(f(x)=a\cdot(x-d)^2+e\), wenn \(e=-2\) ist?

Lösung

Die Parabel wird um zwei Einheiten nach unten verschoben.

3 Was passiert mit dem Graphen einer quadratischen Funktion, wenn der Parameter \(a>1\) ist?

Lösung

Die Parabel der Funktion wird gestreckt.

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