Lösen mit der pq-Formel
Du suchst Beispiele für pq-Formel Beispiele? Hier kommen mehrere typische Aufgaben samt ausführlicher Lösung.
Um eine quadratische Gleichung mit der \(pq\)-Formel zu lösen, müssen wir sie in die hier zu sehende Normalform bringen. Wenn also die quadratische Gleichung bei \(x^2\) einen Vorfaktor besitzt, müssen wir die ganze Gleichung durch diesen teilen.
Um die quadratische Gleichung mit der \(pq\)-Formel zu lösen, brauchst du nur die Werte für \(p\) und \(q\) in die Formel einsetzen und ausrechnen, und schon hast du die Lösungen der Gleichung. Das Symbol \(\pm\) (Plus-Minus) zeigt an, dass es zwei Lösungen gibt: eine, bei der der Wurzelterm addiert wird, und eine, bei der er subtrahiert wird.
Der Term \(\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q\) unter dem Wurzelsymbol ist die Diskriminante \(D\). Sie gibt an, wie viele Lösungen die Gleichung hat. Für \(D>0\) gibt es zwei verschiedene Lösungen. Bei \(D=0\) gibt es genau eine Lösung und für \(D<0\) gibt es keine reellen Lösungen.
Übungen mit Lösung
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1 Wie lautet die \(pq\)-Formel?
\(\begin{align}x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}\end{align}\)
2 Was ist in der \(pq\)-Formel \(\begin{align}x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}\end{align}\) die Diskriminante \(D\)?
\(\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q\)
Häufige Fragen
Wann pq-Formel Beispiel?
Die pq-Formel \(x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}\) wird verwendet, um quadratische Gleichungen in der Normalform \(x^{2}+px+q=0\) zu lösen. Ein Beispiel: Für die Gleichung \(x^{2}+6x+5=0\) sind \(p=6\) und \(q=5\). Einsetzen in die Formel ergibt \(x_{1,2}=-3\pm\sqrt{9-5}=-3\pm2\), also die Lösungen \(x_1=-1\) und \(x_2=-5\).
Wie berechnet man p und q aus?
Um p und q zu bestimmen, musst du die quadratische Gleichung zuerst in die Normalform \(x^{2}+px+q=0\) bringen. Falls vor \(x^{2}\) ein Vorfaktor steht, teilst du die gesamte Gleichung durch diesen Faktor. Dann liest du p als Koeffizient von x und q als konstantes Glied ab.
Kann man die pq-Formel ohne q anwenden?
Ja, die pq-Formel kann auch angewendet werden, wenn \(q = 0\) ist. In der Normalform \(x^2 + px + q = 0\) darf \(q\) null sein. Setzt man \(q = 0\) in die Formel \(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\) ein, erhält man \(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2}\). Die Diskriminante \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\) wird dann zu \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\), was immer größer oder gleich null ist, sodass es stets reelle Lösungen gibt.
Was bedeutet die pq-Formel?
Die pq-Formel \(x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}\) ist eine Methode, um quadratische Gleichungen in der Normalform \(x^{2}+px+q=0\) zu lösen. Man setzt die Werte für \(p\) und \(q\) ein und berechnet die Lösungen. Die Diskriminante \(D=\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q\) gibt an, wie viele Lösungen es gibt: bei \(D>0\) zwei, bei \(D=0\) eine und bei \(D<0\) keine reellen Lösungen.
Warum braucht man die pq-Formel?
Die pq-Formel wird benötigt, um quadratische Gleichungen in der Normalform \(x^{2}+px+q=0\) zu lösen. Mit ihr kannst du durch Einsetzen der Werte für \(p\) und \(q\) direkt die Lösungen berechnen, ohne aufwändiges Umformen oder Raten. Sie liefert dir zuverlässig die Ergebnisse, egal ob es eine, zwei oder keine reelle Lösung gibt.
Wie berechnet man p und q?
Um p und q zu berechnen, musst du die quadratische Gleichung zunächst in die Normalform \(x^{2}+px+q=0\) bringen. Dazu teilst du die gesamte Gleichung durch den Vorfaktor von \(x^{2}\), falls vorhanden. Dann liest du p als den Koeffizienten von x und q als die Konstante ab.