Kosinussatz
Noch unsicher beim Thema Kosinussatz? Diese Seite liefert dir eine verständliche Definition und klärt die wichtigsten Begriffe.
Der Kosinussatz besagt, dass in einem beliebigen Dreieck die angegebene Formel gilt, sodass wir die Länge der Seite \(c\) bestimmen können, wenn wir \(a\) und \(b\) sowie den zur Seite \(c\) gegenüberliegenden Winkel \(\gamma\) gegeben haben.
Falls wir den Kosinussatz auf die Seiten \(a\) und \(b\) anwenden wollen, tauschen wir die Parameter und den entsprechenden Winkel, sodass wir die dargestellten Gleichungen erhalten.
Um bei drei bekannten Seiten des Dreiecks den Winkel zu berechnen, löst man die Gleichungen nach dem Kosinus des gesuchten Winkels auf. In unserem Beispiel ziehen wir dafür zuerst das \(c^2\) von beiden Seiten ab und addieren \((2ab\cdot\cos{\gamma})\) auf beiden Seiten.
Danach teilen wir durch \(2ab\).
Im finalen Schritt nehmen wir den \(\arccos\) von der rechten Seite der Gleichung, um unseren Winkel \(\gamma\) zu erhalten.
Übungen mit Lösung
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1 Wie sieht die Formel aus, die du verwenden würdest, um den Winkel \(\gamma\) zu berechnen, wenn dir die Längen aller Seiten eines Dreiecks bekannt sind?
\(\gamma=\arccos(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})\)
2 Welche Formel benutzt du, um die Seite \(a\) eines Dreiecks zu bestimmen, welche gegenüber des bekannten Winkels \(\alpha\) liegt? Die anderen beiden Seiten des Dreiecks sind dabei bekannt.
\(a^2=c^2+b^2-2cb\cdot\cos\left(\alpha\right)\)
Häufige Fragen
Wie lautet der Kosinussatz?
Der Kosinussatz besagt, dass in einem beliebigen Dreieck die Gleichung \(c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\left(\gamma\right)\) gilt. Damit kann die Länge einer Seite berechnet werden, wenn die beiden anderen Seiten und der gegenüberliegende Winkel bekannt sind. Durch Umstellen der Formel erhält man \(\cos(\gamma)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) und schließlich \(\gamma=\arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\).
Wann ist der Kosinussatz anwendbar?
Der Kosinussatz ist in jedem Dreieck anwendbar, nicht nur in rechtwinkligen. Mit ihm kannst du die Länge einer Seite berechnen, wenn du die beiden anderen Seiten und den gegenüberliegenden Winkel kennst. Ebenso kannst du bei drei bekannten Seiten einen Winkel bestimmen, indem du die Formel nach dem Kosinus des Winkels umstellst.
Welche Beispiele gibt es für den Kosinussatz?
Der Kosinussatz kann verwendet werden, um bei zwei gegebenen Seiten und dem eingeschlossenen Winkel die dritte Seite zu berechnen, z.B. \(c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos(\gamma)\). Ebenso lassen sich bei drei bekannten Seiten die Winkel bestimmen, indem man die Formel umstellt, etwa \(\gamma=\arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\).
Wann benutzt man Sinus und wann Cosinus?
Der Sinussatz wird verwendet, wenn zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel oder zwei Winkel und eine Seite gegeben sind. Der Kosinussatz hingegen wird angewendet, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind oder wenn alle drei Seiten gegeben sind, um einen Winkel zu berechnen. Im bereitgestellten Material wird der Kosinussatz \(c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos(\gamma)\) genutzt, um bei bekannten Seiten \(a\), \(b\) und dem Winkel \(\gamma\) die Seite \(c\) zu bestimmen oder um aus drei Seiten einen Winkel zu berechnen.
Was besagt der Kosinussatz?
Der Kosinussatz besagt, dass in einem beliebigen Dreieck die Gleichung \(c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\left(\gamma\right)\) gilt. Damit kann man die Länge einer Seite berechnen, wenn die beiden anderen Seiten und der gegenüberliegende Winkel bekannt sind. Durch Umstellen der Formel kann man auch Winkel aus drei gegebenen Seiten bestimmen, z. B. \(\gamma=\arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\).
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Der Sinussatz wird verwendet, wenn zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel oder zwei Winkel und eine Seite bekannt sind. Der Kosinussatz kommt zum Einsatz, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind oder wenn alle drei Seiten bekannt sind, um einen Winkel zu berechnen. Im Material wird der Kosinussatz für die Berechnung einer Seite bei bekanntem gegenüberliegendem Winkel und für die Winkelberechnung aus drei Seiten beschrieben.