Sinussatz
Was ist Sinussatz? In den folgenden Abschnitten findest du die Antwort – kompakt und leicht nachvollziehbar.
Der Sinussatz besagt, dass in jedem Dreieck das Verhältnis einer Seitenlänge zum Sinus des jeweils gegenüberliegenden Winkels für alle drei Seiten und Winkel gleich ist. Daher gelten die zu sehenden Gleichungen, wobei \(a\), \(b\) und \(c\) die Seitenlängen und \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) die jeweils gegenüberliegenden Winkel sind.
Wenn zwei Winkel und eine Seite eines Dreiecks oder zwei Seiten und ein nicht eingeschlosser Winkel bekannt ist, kannst du mithilfe des Sinussatzes die fehlenden Seiten oder Winkel berechnen. Zum Beispiel ist die Seite \(a\) sowie die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) gegeben, dann können wir \(b\) mit Umstellen der Formel bestimmen.
Übungen mit Lösung
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1 Wie lauten die Gleichungen, die beim Sinussatz gelten?
\(\frac a{\sin\left(\alpha\right)}=\frac b{\sin\left(\beta\right)}=\frac c{\sin\left(\gamma\right)}\)
2 Bei welchen Gegebenen eines Dreiecks können wir den Sinussatz anwenden?
Bei 2 gegebenen Winkeln und einer Seite oder bei 2 gegebenen Seiten und einem nicht eingeschlossenen Winkel.
Häufige Fragen
Wie lautet der Sinussatz?
Der Sinussatz besagt, dass in jedem Dreieck das Verhältnis einer Seitenlänge zum Sinus des jeweils gegenüberliegenden Winkels für alle drei Seiten und Winkel gleich ist. Es gelten die Gleichungen \[\frac a{\sin\left(\alpha\right)}=\frac b{\sin\left(\beta\right)}=\frac c{\sin\left(\gamma\right)}\], wobei \(a\), \(b\) und \(c\) die Seitenlängen und \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) die jeweils gegenüberliegenden Winkel sind.
Wann benutzt man Sinussatz und wann Kosinussatz?
Der Sinussatz wird verwendet, wenn zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel bekannt sind. Der Kosinussatz wird hingegen benötigt, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel oder alle drei Seiten gegeben sind. Das Material beschreibt jedoch nur den Sinussatz, sodass eine vollständige Abgrenzung nicht möglich ist.
Wie berechne ich Winkel mit dem Sinussatz?
Um Winkel mit dem Sinussatz zu berechnen, nutzt du die Gleichung \(\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}\). Wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel oder zwei Winkel und eine Seite bekannt sind, kannst du die fehlenden Winkel durch Umstellen der Formel bestimmen. Zum Beispiel erhältst du \(\sin(\beta) = \frac{b \cdot \sin(\alpha)}{a}\) und dann den Winkel \(\beta\) über die Arkussinusfunktion.
Wie lautet die Formel von Sinus?
Der Sinussatz besagt, dass in jedem Dreieck das Verhältnis einer Seitenlänge zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels für alle drei Seiten gleich ist. Die Formel lautet: \[\frac a{\sin\left(\alpha\right)}=\frac b{\sin\left(\beta\right)}=\frac c{\sin\left(\gamma\right)}\] Dabei sind \(a, b, c\) die Seitenlängen und \(\alpha, \beta, \gamma\) die jeweils gegenüberliegenden Winkel.
Für was braucht man den Sinussatz?
Der Sinussatz wird benötigt, um in einem Dreieck fehlende Seiten oder Winkel zu berechnen, wenn entweder zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel bekannt sind. Er besagt, dass in jedem Dreieck das Verhältnis einer Seitenlänge zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels für alle drei Seiten und Winkel gleich ist.
Wie lautet die vereinfachte Sinusregel?
Die vereinfachte Sinusregel ist der Sinussatz: \[\frac a{\sin(\alpha)}=\frac b{\sin(\beta)}=\frac c{\sin(\gamma)}\] Er besagt, dass in jedem Dreieck das Verhältnis einer Seitenlänge zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels für alle drei Seiten gleich ist.