Kosinus
Starte hier mit Kosinus: du bekommst einen Überblick über das Thema und findest direkt die passenden Kapitel.
Der Kosinus eines Winkels gibt das Verhältnis der Länge der Ankathete zur Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck an. Die Ankathete grenzt direkt an den entsprechenden Winkel an, aber ist nicht die Hypotenuse. Um den Winkel \(\alpha\) daraus zu bestimmen, setzen wir \(\arccos(\alpha)\) in den Taschenrechner ein und erhalten so unser \(\alpha\).
Im rechtwinkligen Dreieck kann der Kosinus nur für Winkel zwischen \(0°\) und \(90°\) berechnet werden. Um den Kosinus für Winkel größer als \(90°\) oder sogar negative Winkel zu definieren, benutzen wir den Einheitskreis. Dieser Kreis hat den Koordinatenursprung \((0|0)\) als Mittelpunkt und einen Radius \(r=1\).
Der Winkel wird am Koordinatenursprung angetragen und der Punkt auf dem Rand des Einheitskreises beschreibt den Kosinuswert für jeden beliebigen Winkel. Drehen wir uns nun von der positiven \(x\)-Achse aus um den Winkel \(\alpha\) gegen den Uhrzeigersinn, so hat der Punkt auf dem Rand des Einheitskreises die \(x\)-Koordinate \(\cos(\alpha)\).
Übungen mit Lösung
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1 Welchem Verhältnis entspricht der Kosinus eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck?
Dem Verhältnis der Länge der Ankathete des Winkels zur Länge der Hypotenuse.
2 Angenommen, ein Punkt auf dem Einheitskreis wird durch einen Winkel \(\alpha\) erzeugt. Wie erhalten wir dann den Wert der \(x\)-Koordinate des Punktes?
Wir bilden den Kosinus von \(\alpha\).
Häufige Fragen
Wie rechnet man Sinus und Cosinus?
Sinus und Kosinus sind trigonometrische Funktionen. Der Kosinus eines Winkels \(\alpha\) in einem rechtwinkligen Dreieck ist definiert als \(\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}\). Für Winkel über \(90°\) oder negative Winkel wird der Kosinus mithilfe des Einheitskreises definiert: Die \(x\)-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis, der durch Drehung um den Winkel \(\alpha\) von der positiven \(x\)-Achse aus entsteht, ist \(\cos(\alpha)\). Der Sinus wird im bereitgestellten Material nicht behandelt.
Was ist der Unterschied zwischen Sinus und Kosinus?
Der Sinus und der Kosinus sind beide trigonometrische Funktionen, die in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis von Seitenlängen angeben. Der Kosinus eines Winkels \(\alpha\) ist definiert als \(\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}\), während der Sinus das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse beschreibt. Beide Funktionen können mithilfe des Einheitskreises für beliebige Winkel definiert werden, wobei der Kosinus die \(x\)-Koordinate des Punktes auf dem Kreisrand angibt.
Was ist die Formel für Sinus?
Die Formel für den Sinus wird im bereitgestellten Material nicht direkt genannt. Das Material behandelt ausschließlich den Kosinus, definiert als \(\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}\). Für die Sinus-Formel reicht das Material dieser Seite nicht aus.
Wie lautet die Anleitung für Sinus und Cosinus?
Der Kosinus eines Winkels \(\alpha\) in einem rechtwinkligen Dreieck ist definiert als \(\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}\). Um den Winkel zu berechnen, verwendet man \(\alpha=\arccos\left(\frac{\text{Ankathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}\right)\). Für Winkel über \(90°\) oder negative Winkel wird der Kosinus über den Einheitskreis definiert, wobei \(\cos(\alpha)\) die \(x\)-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis ist.
Wie lautet die Formel für den Sinus?
Die Formel für den Sinus wird in diesem Material nicht behandelt. Es enthält nur die Formel für den Kosinus: \(\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}\). Für die Sinus-Formel reicht das Material dieser Seite nicht aus.
Wie lautet die Formel für den Kosinus?
Die Formel für den Kosinus lautet \(\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}\). Dabei ist die Ankathete die dem Winkel \(\alpha\) anliegende Seite, die nicht die Hypotenuse ist.