Sinus
Sinus im Überblick: was du wissen solltest, wie alles zusammenhängt und wo du weiterlernen kannst.
Der Sinus eines Winkels gibt das Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck an. Die Gegenkathete ist die Seite, die dem entsprechenden Winkel gegenüberliegt. Um den Winkel \(\alpha\) daraus zu bestimmen, setzen wir \(\arcsin(\alpha)\) in den Taschenrechner ein und erhalten so unser \(\alpha\).
Im rechtwinkligen Dreieck kann der Sinus nur für Winkel zwischen \(0°\) und \(90°\) berechnet werden. Um den Sinus für Winkel größer als \(90°\) oder sogar negative Winkel zu definieren, benutzen wir den Einheitskreis. Dieser Kreis hat den Koordinatenursprung \((0|0)\) als Mittelpunkt und einen Radius \(r=1\).
Der Winkel wird am Koordinatenursprung eingezeichnet und der Punkt auf dem Rand des Einheitskreises beschreibt den Sinuswerte für jeden beliebigen Winkel. Drehen wir uns nun von der positiven \(x\)-Achse aus um den Winkel \(\alpha\) gegen den Uhrzeigersinn, so hat der Punkt auf dem Rand des Einheitskreises die \(y\)-Koordinate \(\sin(\alpha)\).
Übungen mit Lösung
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1 Welchem Verhältnis entspricht der Sinus eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck?
Dem Verhältnis der Länge der Gegenkathete des Winkels zur Länge der Hypotenuse.
2 Angenommen, ein Punkt auf dem Einheitskreis wird durch einen Winkel \(\alpha\) erzeugt. Wie erhalten wir dann den Wert der \(y\)-Koordinate des Punktes?
Wir bilden den Sinus von \(\alpha\).
Häufige Fragen
Wie rechnet man Sinus und Cosinus?
Der Sinus eines Winkels \(\alpha\) ist in einem rechtwinkligen Dreieck definiert als \(\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}\). Für Winkel zwischen 0° und 90° kann man den Sinus so berechnen. Für beliebige Winkel nutzt man den Einheitskreis, wo die y-Koordinate eines Punktes auf dem Kreis dem Sinus des Winkels entspricht. Der Kosinus wird im bereitgestellten Material nicht behandelt.
Was ist der Unterschied zwischen Sinus und Kosinus?
Der Sinus gibt das Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse an, während der Kosinus das Verhältnis von Ankathete zur Hypotenuse beschreibt. Im Einheitskreis entspricht der Sinus der y-Koordinate eines Punktes, der Kosinus der x-Koordinate. Beide Funktionen sind für beliebige Winkel definiert, aber sie unterscheiden sich in ihrer Phasenverschiebung um 90°.
Was ist die Formel für Sinus?
Die Formel für den Sinus eines Winkels \(\alpha\) in einem rechtwinkligen Dreieck lautet \(\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}\). Der Sinus gibt also das Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Länge der Hypotenuse an.
Wie lautet die Anleitung für Sinus und Cosinus?
Der Sinus eines Winkels gibt das Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck an: \(\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}\). Um den Winkel \(\alpha\) zu bestimmen, verwendet man den Arcussinus: \(\alpha=\arcsin\left(\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}\right)\). Für Winkel über \(90°\) oder negative Winkel wird der Sinus mithilfe des Einheitskreises definiert, wobei die \(y\)-Koordinate des Punktes auf dem Kreis dem Sinus des Winkels entspricht.
Wie lautet die Formel für den Sinus?
Die Formel für den Sinus eines Winkels \(\alpha\) in einem rechtwinkligen Dreieck lautet \(\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}\). Der Sinus ist also das Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Länge der Hypotenuse.
Wie lautet die Formel für den Kosinus?
Im bereitgestellten Material wird der Kosinus nicht definiert. Es behandelt ausschließlich den Sinus. Daher reicht das Material dieser Seite nicht aus, um die Formel für den Kosinus zu beantworten.