Kreise und Dreiecke
Was ist Kreise und Dreiecke? In den folgenden Abschnitten findest du die Antwort – kompakt und leicht nachvollziehbar.
Was dich hier erwartet
Das Thema behandelt die Beziehungen zwischen Kreisen und Dreiecken, insbesondere Inkreis und Umkreis von Dreiecken sowie wichtige Sätze wie den Peripheriewinkelsatz und den Satz des Thales.
Kapitel in diesem Thema
Inkreis
Merke dir, dass der Inkreis eines Dreiecks der Kreis ist, der alle drei Seiten des Dreiecks von innen berührt. Dabei ist der Inkreismittelpunkt immer der Schnittpunkt aller drei Winkelhalbierenden des Dreiecks.
Umkreis
Präge dir ein, dass der Umkreis eines Dreiecks alle drei Ecken des Dreiecks schneidet. Der Umkreismittelpunkt ist dabei der Schnittpunkt aller drei Mittelsenkrechten des Dreiecks.
Peripheriewinkelsatz
Präge dir ein, dass alle Peripheriewinkel, die auf demselben Bogen eines Kreises liegen, gleich groß sind.
Zentri-Peripheriewinkelsatz
Merke dir, dass der Zentriwinkel doppelt so groß ist wie der Peripheriewinkel, solange beide denselben Kreisbogen besitzen.
Satz des Thales
Merke dir: Befinden sich die Eckpunkte eines Dreiecks \(ABC\) auf einem Kreis und ist \(AB\) der Durchmesser, so ist der Winkel bei \(C\) nach dem Satz des Thales stets ein rechter Winkel.
Häufige Fragen
Wie lautet der Satz von Thales?
Der Satz des Thales besagt: Befinden sich die Eckpunkte eines Dreiecks \(ABC\) auf einem Kreis und ist \(AB\) der Durchmesser, so ist der Winkel bei \(C\) stets ein rechter Winkel. Liegt ein Punkt \(C\) eines Dreiecks \(ABC\) auf einem Halbkreis mit dem Durchmesser \(AB\), so gilt immer \(\gamma=90^\circ\). Die Umkehrung gilt ebenfalls: Wenn in einem Dreieck der Winkel bei \(C\) genau \(\gamma=90^\circ\) beträgt, dann liegt \(C\) auf einem Kreis mit dem Durchmesser \(AB\), dem Thaleskreis.
Was ist der Satz des Thales?
Der Satz des Thales besagt: Befinden sich die Eckpunkte eines Dreiecks \(ABC\) auf einem Kreis und ist \(AB\) der Durchmesser, so ist der Winkel bei \(C\) stets ein rechter Winkel. Liegt ein Punkt \(C\) eines Dreiecks \(ABC\) auf einem Halbkreis mit dem Durchmesser \(AB\), so gilt \(\gamma=90^\circ\). Die Umkehrung gilt ebenfalls: Wenn in einem Dreieck der Winkel bei \(C\) genau \(\gamma=90^\circ\) beträgt, dann liegt \(C\) auf einem Kreis mit dem Durchmesser \(AB\), dem Thaleskreis.
Was kann man mit dem Satz des Thales machen?
Mit dem Satz des Thales kann man feststellen, dass der Winkel bei einem Punkt \(C\) eines Dreiecks \(ABC\) genau dann ein rechter Winkel ist, wenn \(C\) auf einem Halbkreis mit dem Durchmesser \(AB\) liegt. Umgekehrt kann man mithilfe des Satzes prüfen, ob ein Punkt auf dem Thaleskreis liegt, indem man den Mittelpunkt von \(AB\) bestimmt und einen Kreis mit dem Radius \(r=MB\) konstruiert.
Wie zeichne ich den Satz des Thales?
Um den Satz des Thales zu zeichnen, konstruierst du zuerst eine Strecke \(AB\) und bestimmst ihren Mittelpunkt \(M\). Dann stichst du den Zirkel in \(M\) ein und zeichnest einen Kreis mit dem Radius \(r=MB\). Jeder Punkt \(C\) auf diesem Kreis (außer \(A\) und \(B\)) ergibt zusammen mit \(A\) und \(B\) ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei \(C\).
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