Prinzip des Cavalieri
Prinzip des Cavalieri: ein Überblick über das Thema mit allen wichtigen Teilbereichen.
Prinzip des Cavalieri im Zylinder
Merke dir, dass ein gerader und schiefer Zylinder das gleiche Volumen besitzen, falls sie gleich große Grundflächen und die gleiche Höhe haben. Die Formel lautet \(V=\pi\cdot r^2\cdot h\).
Bei einem geraden Zylinder stehen die Mantellinien senkrecht auf der kreisförmigen und kongruenten Grund- und Deckfläche. Bei einem schiefen Zylinder sind die Mantellinien hingegen geneigt. Dadurch liegt die Deckfläche nicht direkt über der Grundfläche, sondern ist seitlich versetzt. So siehst du es auch in der Grafik.
Stell dir nun einen geraden und einen schiefen Zylinder vor, die beide die gleiche kreisförmige Grundfläche \(G\) und die gleiche Höhe \(h\) haben. Du kannst dir beide Zylinder wie einen Stapel Münzen vorstellen. Auch wenn du den Stapel schräg zur Seite schiebst, ändert sich weder die Fläche der einzelnen Münzen noch die Gesamthöhe des Stapels.
Nach dem Prinzip des Cavalieri gilt dann, dass die beiden Zylinder dasselbe Volumen besitzen. Da die Münzen auf jeder Höhe bei beiden Körpern dieselbe Fläche haben, muss auch ihr Volumen identisch sein. So berechnet sich das Volumen des geraden wie auch des schiefen Zylinders mit der angegebenen Formel.
Übungen mit Lösung
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1 Angenommen, du hältst in jeder Hand einen geraden und einen schiefen Zylinder mit Wasser gefüllt. Beide besitzen die gleiche Höhe und haben gleich große Grundflächen. Wenn du beide Zylinder ausleerst, würdest du dann die gleiche Menge an Wasser erhalten?
Ja.
2 Wie kann das Prinzip des Cavalieri zur Berechnung des Volumens eines schiefen Zylinders angewendet werden?
Die Formel für die Volumenberechnung eines schiefen Zylinders ist die gleiche wie für einen geraden Zylinder, nämlich \(V=\pi\cdot r^2\cdot h\).
Prinzip des Cavalieri in der Pyramide
Merke dir, dass eine gerade und schiefe Pyramide das gleiche Volumen besitzen, falls sie gleich große Grundflächen \(G\) und die gleiche Höhe \(h\) haben. Die Volumenformel ist dann bei beiden \(V=\frac13\cdot G\cdot h\).
Bei einer geraden Pyramide befindet sich die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche. Im Gegensatz dazu steht die Spitze bei einer schiefen Pyramide nicht über dem Mittelpunkt, wodurch die Pyramide geneigt erscheint und ihre Seitenkanten unterschiedlich lang sind, wie es auch in der Grafik zu sehen ist.
Stell dir nun eine gerade und eine schiefe Pyramide vor, die die gleiche Grundfläche \(G\) und die gleiche Höhe \(h\) besitzen. Du kannst dir beide Körper wie einen spitz zulaufenden Stapel Papier vorstellen. Auch wenn du diesen Stapel schräg zur Seite drückst, ändert sich weder die Fläche des jeweiligen Blattes auf einer bestimmten Höhe noch die Gesamthöhe des Stapels.
Nach dem Prinzip des Cavalieri folgt daraus, dass beide Pyramiden dasselbe Volumen haben müssen. Da die "Papierscheiben" auf jeder beliebigen Höhe bei beiden Körpern dieselbe Fläche haben, muss ihr Volumen identisch sein. Das Volumen der geraden und der schiefen Pyramide berechnet sich daher mit der Formel \(V=\frac13\cdot G\cdot h\).
Übungen mit Lösung
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1 Wie kann das Prinzip des Cavalieri zur Berechnung des Volumens einer schiefen Pyramide angewendet werden?
Die Formel für die Volumenberechnung einer schiefen Pyramide ist die gleiche wie für eine gerade Pyramide, nämlich \(V=\frac13\cdot G\cdot h\).
2 Angenommen, du hältst in jeder Hand eine mit Wasser gefüllte Pyramide mit der Spitze nach unten. Eine ist gerade, und eine ist schief. Beide Pyramiden haben die gleiche Höhe und gleich große Grundflächen. Wenn du beide Pyramiden ausleerst, würdest du dann die gleiche Menge an Wasser erhalten?
Ja.
Prinzip des Cavalieri im Prisma
Merke dir, dass ein gerades und schiefes Prisma das gleiche Volumen besitzen, falls sie gleich große Grundflächen und die gleiche Höhe besitzen. Für beide lautet die Volumenformel \(V=G\cdot h\).
Bei einem geraden Prisma stehen die Seitenkanten senkrecht auf den kongruenten Grund-und Deckflächen, weshalb die Seitenflächen Rechtecke sind. Bei einem schiefen Prisma sind die Seitenkanten hingegen geneigt. Dadurch sind die Seitenflächen Parallelogramme und die Deckfläche liegt nicht direkt über der Grundfläche, wie es auch zu sehen ist.
Stell dir nun ein gerades und ein schiefes Prisma vor, die die gleiche Grundfläche \(G\) und die gleiche Höhe \(h\) haben. Man kann sich beide Prismen wie einen Stapel Papier vorstellen. Auch wenn man den einen Stapel schräg schiebt, ändert sich weder die Fläche der einzelnen Blätter noch die Gesamthöhe des Stapels.
Nach dem Prinzip von Cavalieri gilt dann, dass die Prismen dasselbe Volumen besitzen. Da die "Papierscheiben" auf jeder Höhe bei beiden Prismen dieselbe Fläche haben, muss auch ihr Volumen identisch sein. So berechnet sich das Volumen des geraden, wie auch des schrägen Prismas mit \(V=G\cdot h\).
Übungen mit Lösung
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1 Wie kann das Prinzip des Cavalieri zur Berechnung des Volumens eines schiefen Prismas angewendet werden?
Die Formel für die Volumenberechnung eines schiefen Prismas ist die gleiche wie für ein gerades Prisma, nämlich \(V=G\cdot h\).
2 Angenommen, du hältst in jeder Hand ein gerades und ein schiefes Prisma mit Wasser gefüllt. Beide besitzen die gleiche Höhe und haben gleich große Grundflächen. Wenn du beide Prismen ausleerst, würdest du dann die gleiche Menge an Wasser erhalten?
Ja.