Quadratische Ergänzung Aufgaben: Musterlösung Schritt für Schritt

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Um eine quadratische Gleichung mit der quadratischen Ergänzung zu lösen, müssen wir die Gleichung zuerst in die Normalform bringen. Dabei sind \(p\) und \(q\) Konstanten.

\begin{align}&\text{Normalform:}\\&x^{2}+px+q=0\end{align}

Bei der Normalform bringst du jetzt alle \(x\)-Terme auf eine Seite und alle Zahlenausdrücke auf die andere Seite.

x^{2}+px=-q

Für die vorbereitete Gleichung wenden wir jetzt die quadratische Ergänzung an. Das bedeutet, dass wir beide Seiten der Gleichung mit \((\frac p2)^2\) addieren.

\begin{align}x^{2}+px+\left(\frac p2\right)^2=-q+\left(\frac p2\right)^2\end{align}

Auf der linken Seite der Gleichung können wir jetzt immer eine binomische Formel bilden und die Lösung der Gleichung ganz einfach ablesen. So wie du es auch im Beispiel für \(p=4,\ q=-5\) sehen kannst.

\begin{align}&p=4,\ q=-5:\\& x^{2}+4x=5\\&\text{Quadratische Ergänzung: }x^{2}+4x+\left(\frac 42\right)^2=5+\left(\frac 42\right)^2\\&\Rightarrow x^2+4x+4=9\\&\Rightarrow (x+2)^2=9\\&\Rightarrow x_1=1,\ x_2=-5\end{align}

Übungen mit Lösung

Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.

1 Falls wir die quadratische Gleichung in die Form \(x^{2}+px=-q\) gebracht haben, welchen Term addieren wir dann bei der quadratischen Ergänzung an beide Seiten der Gleichung?

Lösung

\((\frac p2)^2\)

2 In welche Form müssen wir eine allgemeine quadratische Funktion bringen, um die quadratische Ergänzung anwenden zu können?

Lösung

In die Normalform \(x^2+px+q=0\)

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