Anwendung des Sinus- und Kosinussatzes für Pyramiden, Anwendung des Sinus- und Kosinussatzes für Kreiskegel und Anwenden des Sinus- und Kosinussatzes für Vielecke | Sinus- und Kosinussatz

Anwendung des Sinus- und Kosinussatzes für Pyramiden

Merke dir, dass du den Sinussatz für Dreiecke in Pyramiden anwenden kannst, wenn zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und der gegenüberliegenden Winkel gegeben sind. Den Kosinussatz, wenn drei Seiten oder zwei Seiten mit einem eingeschlossenen Winkel gegeben sind.

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Den Sinus- und Kosinussatz kannst du bei jeder dreieckigen Fläche anwenden, wenn du Winkel und Seitenlängen berechnen möchtest. Da jede Seitenfläche einer Pyramide ein Dreieck bildet und sich auch im Querschnitt mit der Höhe Dreiecke ergeben, sind die beiden Sätze besonders hilfreich.

\begin{align}&\text{Sinussatz:}\\&\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}\\ \\&\text{Kosinussatz:}\\&c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(\gamma)\end{align}

Wir verwenden zur Berechnung den Sinussatz, wenn wir in unserem ausgewählten Dreieck der Pyramide zwei Winkel und eine Seitenlänge oder zwei Seiten und den gegenüberliegenden Winkel gegeben haben. So siehst du es auch anhand der Beispielpyramide.

\begin{align}&c=2\ cm,\ \alpha=90^\circ,\ \gamma=25^\circ:\\&\Rightarrow\frac{a}{\sin(90^\circ)}=\frac{2\ cm}{\sin(25 ^\circ)}\end{align}

Wir verwenden zur Berechnung den Kosinussatz, wenn wir in unserem ausgewählten Dreieck der Pyramide drei Seiten oder zwei Seiten mit einem eingeschlossenen Winkel gegeben haben. Das lässt sich hier für unsere Beispielpyramide anwenden.

\begin{align}&a=5,2\ cm,\ b=5,8\ cm,\ \gamma=42^\circ:\\&\Rightarrow c^2 = (5,2\ cm)^2 + (5,8\ cm)^2 - 2(5,2\ cm\cdot5,8\ cm)\cdot\cos(42^\circ)\end{align}

Übungen mit Lösung

Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.

1 Wann verwenden wir den Sinussatz in einem Dreieck einer Pyramide?

Lösung

Wenn zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel gegeben sind.

2 Welche gegebenen Größen braucht man, um den Kosinussatz in einem Dreieck einer Pyramide anwenden zu können?

Lösung

Drei Seiten oder zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel.

Anwendung des Sinus- und Kosinussatzes für Kreiskegel

Merke dir, dass du den Sinussatz für Dreiecke in Kreiskegeln anwenden kannst, wenn zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und der gegenüberliegenden Winkel gegeben sind. Den Kosinussatz, wenn drei Seiten oder zwei Seiten mit einem eingeschlossenen Winkel gegeben sind.

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Den Sinus- und Kosinussatz kannst du bei den dreieckigen Fläche des Kreiskegels anwenden, wenn du Winkel und Seitenlängen berechnen möchtest. In der Grafik siehst du dafür ein Beispieldreieck in rot markiert.

\begin{align}&\text{Sinussatz:}\\&\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}\\ \\&\text{Kosinussatz:}\\&c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(\gamma)\end{align}

Den Sinussatz verwenden wir, wenn wir in unserem ausgewählten Dreieck des Kreiskegels zwei Winkel und eine Seitenlänge oder zwei Seiten und den gegenüberliegenden Winkel gegeben haben. So kannst du das auch für den Beispielkegel zu sehen.

\begin{align}&b=7\ cm,\ \beta=67^\circ,\ \gamma=23^\circ:\\&\Rightarrow\frac{7\ cm}{\sin(67^\circ)}=\frac{c}{\sin(23 ^\circ)}\end{align}

Wir verwenden den Kosinussatz zur Berechnung, wenn wir in unserem ausgewählten Dreieck des Kreiskegels drei Seiten oder zwei Seiten mit einem eingeschlossenen Winkel gegeben haben. So ist das auch hier für ein Beispiel zu sehen.

\begin{align}&a=7,6\ cm,\ b=7\ cm,\ \gamma=23^\circ:\\&\Rightarrow c^2 = (7,6\ cm)^2 + (7\ cm)^2 - 2(7,6\ cm\cdot7\ cm)\cdot\cos(23^\circ)\end{align}

Übungen mit Lösung

Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.

1 Welche gegebenen Größen braucht man, um den Sinussatz in einem Dreieck eines Kreiskegels anwenden zu können?

Lösung

Zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und ein gegenüberliegenden Winkel.

2 Wann verwenden wir den Kosinussatz in einem Dreieck eines Kreiskegels?

Lösung

Wenn drei Seiten oder zwei Seiten und ein eingeschlossener Winkel gegeben sind.

Anwenden des Sinus- und Kosinussatzes für Vielecke

Merke dir, dass du den Sinussatz für ein ausgewähltes Dreieck in einem Vieleck anwenden kannst, wenn zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und der gegenüberliegenden Winkel gegeben sind. Den Kosinussatz, wenn drei Seiten oder zwei Seiten mit einem eingeschlossenen Winkel gegeben sind.

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Du kannst den Sinus- und Kosinussatz bei Vielecken anwenden, indem du das Vieleck in einzelne Dreiecke unterteilst. Dazu ziehst du Diagonalen von einem Eckpunkt zu den nicht benachbarten Ecken. So siehst du das auch in unserem Beispiel.

\begin{align}&\text{Sinussatz:}\\&\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}\\ \\&\text{Kosinussatz:}\\&c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(\gamma)\end{align}

Den Sinussatz verwenden wir, wenn wir in unserem ausgewählten Dreieck zwei Winkel und eine Seitenlänge oder zwei Seiten und den gegenüberliegenden Winkel gegeben haben, wie du es auch hier siehst.

\begin{align}&b=8\ cm,\ \beta=100^\circ,\ \alpha=47^\circ:\\&\Rightarrow\frac a{\sin(47^\circ)}=\frac{8\ cm}{\sin(100 ^\circ)}\end{align}

Wir verwenden den Kosinussatz zur Berechnung, wenn wir in unserem ausgewählten Dreieck des Vielecks drei Seiten oder zwei Seiten mit einem eingeschlossenen Winkel gegeben haben, wie auch hier zu sehen.

\begin{align}&a=5,9\ cm,\ b=8\ cm,\ \gamma=33^\circ:\\&\Rightarrow c^2 = (5,9\ cm)^2 + (8\ cm)^2 - 2(5,9\ cm\cdot8\ cm)\cdot\cos(33^\circ)\end{align}

Übungen mit Lösung

Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.

1 Wann verwenden wir den Sinussatz in einem Dreieck eines Vielecks?

Lösung

Wenn zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel gegeben sind.

2 Welche gegebenen Größen braucht man, um den Kosinussatz in einem Dreieck eines Vielecks anwenden zu können?

Lösung

Drei Seiten oder zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel.