Multiplizieren von Summen und Differenzen und Zusammenfassen von Potenzen mit natürlichen Exponenten

Multiplizieren von Summen und Differenzen

Um Summen miteinander zu multiplizieren, müssen wir immer jede Zahl aus der ersten Klammer mit jeder Zahl aus der zweiten Klammer multiplizieren.

Video ansehen

Um Summen und Differenzen miteinander zu multiplizieren, müssen wir immer jede Zahl aus der ersten Klammer mit jeder Zahl aus der zweiten Klammer multiplizieren. Wie das genau funktioniert, siehst du anhand der vorliegenden Berechnungen.

\begin{align}(a+b)\cdot(c+d)&=ac+ad+bc+bd\\(a-b)\cdot(c-d)&=ac-ad-bc+bd\\(a+b)\cdot(c-d)&=ac-ad+bc+bd\\(a-b)\cdot(c+d)&=ac+ad-bc+bd\end{align}

Für das Quadrat einer Summe bzw. Differenz oder für das Produkt \((a+b)(a-b)\) gibt es die 3 binomischen Formeln, die dir das Multiplizieren dieser speziellen Summen erleichtern sollen. Diese sind dir sicher schon bekannt, aber hier sind sie nochmal notiert.

\begin{align}&\text{1. binomische Formel: }(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\&\text{2. binomische Formel: }(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\&\text{3. binomische Formel: }(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2\end{align}

Übungen mit Lösung

Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.

1 Was erhalten wir, wenn wir (2x+1) mit (x+3) multiplizieren? Die Terme musst du danach nicht zusammenfassen.

Lösung

\(2x\cdot x+6x+x+3\)

2 Was erhalten wir, wenn wir \((2x+1)\cdot(2x-1)\) rechnen?

Lösung

\(4x^2-1\)

Zusammenfassen von Potenzen mit natürlichen Exponenten

Merke dir, dass du nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten direkt zusammenfassen kannst. Für das Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit natürlichen Exponenten gibt es die Regeln \(\begin{align}&x^a\cdot x^b=x^{\left(a+b\right)}\text{ und }\frac{x^a}{x^b}=x^{\left(a-b\right)}\end{align}\).

Video ansehen

So geht’s

Beim Zusammenfassen von Potenzen musst du beachten, dass du nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten direkt zusammenfassen kannst. Im Beispiel sind die beiden Terme gleichartige Terme, weil sie die gleiche Basis \(x\) und den gleichen Exponenten \(^2\) besitzen.

3\cdot x^2+2\cdot x^2=5\cdot x^2

Übungen mit Lösung

Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.

1 Kannst du im Term \(x^3+x^2\) die beiden Potenzen zusammenfassen?

Lösung

Nein, da sie unterschiedliche Exponenten besitzen.

2 Was passiert mit den Exponenten, wenn du zwei Potenzen mit derselben Basis multiplizierst?

Lösung

Beim Multiplizieren von Potenzen mit der gleichen Basis werden die Exponenten addiert.

3 Kannst du im Term \(3x^2+x^2\) die beiden Potenzen zusammenfassen?

Lösung

Ja, zu \(4x^2\)