Intervallschachtelung

Bei der Intervallschachtelung wählst du zuerst ein Anfangsintervall \(\left[a_0;b_0\right]\), das die gesuchte Lösung \(x\) enthält. Dann bestimmst du die Mitte \(m_1=\frac{a_0+b_0}{2}\) und teilst das Intervall in zwei Teilintervalle. Aus diesen wählst du dasjenige, das \(x\) enthält, als neues Anfangsintervall. Diesen Vorgang wiederholst du, bis das Intervall die gewünschte Genauigkeit erreicht hat.

Eine Intervallschachtelung ist ein Verfahren, bei dem man ein Anfangsintervall \([a_0;b_0]\) wählt, das eine gesuchte Zahl \(x\) enthält. Dieses Intervall wird wiederholt halbiert, und man wählt jeweils das Teilintervall, das \(x\) enthält. Die Intervalle werden dabei immer kleiner und nähern sich der gesuchten Zahl an.

Die Intervallschachtelung von \(\sqrt{5}\) beginnt mit einem Anfangsintervall \([a_0; b_0]\), das \(\sqrt{5}\) enthält, z. B. \([2; 3]\). Dann wird die Mitte \(m_1 = \frac{a_0 + b_0}{2}\) berechnet und das Teilintervall gewählt, das \(\sqrt{5}\) enthält. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis die Intervalllänge die gewünschte Genauigkeit erreicht.

Eine Intervallgrenze ist einer der beiden Endpunkte eines Intervalls, also die Zahlen \(a\) und \(b\), die das Intervall begrenzen. Bei einer Intervallschachtelung werden die Grenzen \(a_n\) (untere Grenze) und \(b_n\) (obere Grenze) in jedem Schritt so verschoben, dass \(a_{n+1} \geq a_n\) und \(b_{n+1} \leq b_n\) gilt.

Im Material werden drei Intervallarten unterschieden: offene \(\left]a;b\right[\), geschlossene \(\left[a;b\right]\) und halboffene \(\left[a;b\right[\), \(\left]a;b\right]\). Die Frage nach fünf Intervallarten lässt sich aus dem Material nicht beantworten.