Vorgehensweise bei der Intervallschachtelung und Definition der Intervallschachtelung | Intervallschachtelung

Vorgehensweise bei der Intervallschachtelung

Präge dir ein, dass wir bei der Intervallschachtelung zunächst ein Anfangsintervall \(\left[a_0;b_0\right]\) wählen, das die gesuchte Lösung \(x\) enthält. Dieses Intervall unterteilen wir mit Bestimmung der Mitte \(m_1=\frac{a_0+b_0}2\) in zwei Teilintervalle und wählen das, was \(x\) beinhaltet als neues Anfangsintervall. Dieser Vorgang wird anschließend wiederholt.

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Um mit der Intervallschachtelung zu beginnen, wählen wir zuerst ein Anfangsintervall \(\left[a_0;b_0\right]\). Dieses Anfangsintervall sollte definitiv die gesuchte Lösung \(x\) beinhalten, wie zum Beispiel eine Nullstelle oder einen Grenzwert.

\begin{align}&\text{Anfangsintervall}=\left[a_0;b_0\right]\\&\text{Es gilt dabei:}\\&x\in\left[a_0;b_0\right]\end{align}

Die Intervallschachtelung startet, indem du das Anfangsintervall in kleinere Teilintervalle unterteilst. Eine gängige Methode dafür ist, das Intervall jeweils zu halbieren. Das bedeutet, du bestimmst die Mitte \(m_1=\frac{a_0+b_0}2\) und erhältst dadurch zwei Teilintervalle \(\left[a_0;m_1\right]\) und \(\left[m_1;b_0\right]\).

\begin{align}&\text{Bestimme Mitte: }m_1=\frac{a_0+b_0}2\\&\Rightarrow\text{zwei Teilintervalle:}\\&\left[a_0;m_1\right]\subset\left[a_0;b_0\right]\\&\left[m_1;b_0\right]\subset\left[a_0;b_0\right]\end{align}

Aus den zwei Teilintervallen wählst du für den nächsten Schritt das aus, was weiterhin die gesuchte Lösung enthält. Dieser Schritt wird dann mit dem ausgewählten Teilintervall als neuem Anfangsintervall wiederholt. Der Prozess der Intervallschachtelung wird solange fortgeführt, bis das Intervall so klein ist, dass die Lösung mit der gewünschten Genauigkeit bestimmt werden kann.

\begin{align}&\text{Schau in welchem Intervall }x\text{ liegt:}\\&x\in\left[m_1;b_0\right]\rightarrow\text{Neues Anfangsintervall}\\&x\notin\left[a_0;m_1\right]\end{align}

Übungen mit Lösung

Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.

1 Wir haben zwei Teilintervalle bestimmt und wollen nun ein neues Anfangsintervall bestimmen. Welches der beiden wählen wir, wenn \(x=3\) ist: \(3\in\left[1;5\right]\\3\notin\left[5;10\right]\)

Lösung

Wir wählen \(\left[1;5\right]\).

2 Wie beginnen wir eine Intervallschachtelung?

Lösung

wir wählen das Anfangsintervall \(\left[a_0;b_0\right]\), was unser \(x\) beinhaltet.

Definition der Intervallschachtelung

Merke dir, dass bei der Intervallschachtelung jedes nachfolgende Intervall im ursprünglichen Intervall enthalten ist. So gilt das Verhältnis \(\left[a_{n+1}; b_{n+1}\right]\subset\left[a_{n}; b_{n}\right]\).

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Bei der Intervallschachtelung wird für jede Runde \(n\) eine Folge von Intervallen \(\left[a_n;b_n\right]\) gebildet. Dabei wird bei \(n=0\) begonnen und die jeweiligen Grenzen sind \(a_n\) und \(b_n\).

\begin{align}\left[a_n,b_n\right]&,\ n\in\mathbb{N_0}\\a_n&=\text{untere Intervallgrenze}\\b_n&=\text{obere Intervallgrenze}\end{align}

Jedes Intervall enthält das nächste. Dabei ist die Untergrenze \(a_{n+1}\geq a_n\) und die Obergrenze \(b_{n+1}\leq b_n\). In jeder Runde wird mindestens eine Grenze verschoben, sodass \(\left[a_{n+1}; b_{n+1}\right]\subset\left[a_{n}; b_{n}\right]\) gilt und die Intervalle unterschiedlich sind.

\begin{align}&\text{Untergrenze: }a_{n+1}\geq a_n\\&\text{Obergrenze: }b_{n+1} \leq b_n\\&\Rightarrow\left[a_{n+1}; b_{n+1}\right]\subset\left[a_{n}; b_{n}\right]\end{align}

Die Länge der Intervalle \(b_n-a_n\) wird mit jeder Runde kleiner und nähert sich Null.

\lim_{n \to \infty}(b_n - a_n)=0

Es existiert genau eine reelle Zahl \(x\), die in allen Intervallen enthalten ist. Diese Zahl ist dann der Grenzwert der Folge \(\left[a_n;b_n\right]\). Du siehst das hier nochmal in mathematischer Schreibweise veranschaulicht.

\begin{align}&\exists! \, x \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{N}:a_n \leq x \leq b_n\\&\text{Der Wert für }x\text{ ist dabei:}\\&x = \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n\end{align}

Übungen mit Lösung

Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.

1 Ist \(\left[2; 3\right]\) ein Teilintervall von \(\left[1;5\right]\)?

Lösung

Ja.

2 Ist \(\left[1; 3\right]\) ein Teilintervall von \(\left[2;5\right]\)?

Lösung

Nein, da 1 nicht im ursprünglichen Intervall enthalten ist.