Rekursive Darstellung von exponentiellem Wachstum
Gymnasium, Klasse 9–10 Realschule, Klasse 9–10
Rekursive Darstellung exponentielles Wachstum im Überblick: was du wissen solltest, wie alles zusammenhängt und wo du weiterlernen kannst.
Für die rekursive Formel bei exponentiellem Wachstum wird \(a_n\), der Wert im Schritt \(n\), immer mit einem Koeffizienten \(k\) multipliziert.
\[\begin{align}&\text{Rekursive Formel für exponentielles Wachstum: }\\&a_{n+1}=k\cdot a_n\\&\end{align}\]
Zum Beispiel verdoppelt sich eine Population jedes Jahr und ist im 1. Jahr \(a_1=40\), dann können wir das mit der vorliegenden Formel darstellen und erhalten für das 2. Jahr eine Anzahl von \(80\).
\[\begin{align}&\text{Beispiel: }a_1=40,\ k=2\\&\Rightarrow a_{n+1}=2\cdot a_n\\&\text{2. Jahr:}\\&\Rightarrow a_2=k\cdot a_1\\&\Rightarrow a_2=2\cdot40=80\end{align}\]
Übungen mit Lösung
Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.
1 Eine Population verdreifacht sich jedes Jahr. Im 1. Jahr beträgt die Anzahl \(a_1=20\). Wie lautet die rekursive Formel mit eingesetzten Werten zur Berechnung des 2. Jahres?
Lösung
Die Formel lautet \(a_{2}=3\cdot 20\).
2 Eine Population verdoppelt sich jedes Jahr. Im 2. Jahr beträgt die Anzahl \(a_2=80\). Wie viele Individuen gibt es im 3. Jahr? Verwende dafür die rekursive Formel \(a_{n+1}=k\cdot a_n\).
Lösung
Wir setzen die Werte in die Formel ein und erhalten mit der Rechnung \(a_3=2\cdot80=160\) eine Population von 160 im 3. Jahr.