Lösen durch Logarithmieren
Hier findest du den kompletten Lösungsweg für Exponentialgleichungen lösen. Schritt für Schritt, ohne Lücken.
Um eine Exponentialgleichung der Form \(a^x=b\) mit Hilfe des Logarithmierens zu lösen, musst du den Logarithmus zur Basis \(a\) auf beide Seiten der Gleichung anwenden. So bekommst du das \(x\) aus dem Exponenten heraus. Beachte, dass \(b>0\) sein muss, da der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert ist.
Nachdem du den Logarithmus auf beide Seiten angewendet hast, kannst du den Ausdruck \(\log_a(a^x)\) wegen der Regeln für Logarithmen als \(x\) schreiben. So musst du nur noch \(x=\log_a(b)\) berechnen. Dabei kann ein Taschenrechner hilfreich sein.
Übungen mit Lösung
Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.
1 Was erhältst du, wenn du auf beide Seiten der Gleichung \(3^x=27\) den Logarithmus anwendest?
\(\log_3\left(3^x\right)=\log_3\left(27\right)\)
2 Warum muss beim Lösen durch Logarithmieren von Exponentialgleichungen \(a^x=b\) das \(b\) positiv sein?
Da der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert ist.
Häufige Fragen
Wie löst man eine Exponentialgleichung?
Um eine Exponentialgleichung der Form \(a^x=b\) zu lösen, wendest du den Logarithmus zur Basis \(a\) auf beide Seiten an. Dadurch erhältst du \(\log_a(a^x)=\log_a(b)\), was sich zu \(x=\log_a(b)\) vereinfacht. Beachte, dass \(b>0\) sein muss, da der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert ist.
Wie funktioniert eine Exponentialgleichung?
Eine Exponentialgleichung der Form \(a^x=b\) kannst du lösen, indem du den Logarithmus zur Basis \(a\) auf beide Seiten anwendest. Dadurch erhältst du \(\log_a(a^x)=\log_a(b)\), was sich zu \(x=\log_a(b)\) vereinfacht. Voraussetzung ist, dass \(b>0\) ist, da der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert ist.
Welche Schritte sind nötig, um eine Exponentialgleichung zu lösen?
Um eine Exponentialgleichung der Form \(a^x=b\) zu lösen, wendest du zuerst den Logarithmus zur Basis \(a\) auf beide Seiten der Gleichung an. Dadurch erhältst du \(\log_a(a^x)=\log_a(b)\). Im zweiten Schritt nutzt du die Logarithmusregel, um \(\log_a(a^x)\) als \(x\) zu schreiben, sodass du nur noch \(x=\log_a(b)\) berechnen musst.
Welche Beispiele gibt es für Exponentialgleichungen?
Im Material wird die Exponentialgleichung \(a^x=b\) als Beispiel genannt. Diese Form kann durch Logarithmieren gelöst werden, indem man den Logarithmus zur Basis \(a\) auf beide Seiten anwendet und dann \(x=\log_a(b)\) berechnet.