Lösen von Potenzgleichungen
Rechne Lösen von Potenzgleichungen sicher: Hier lernst du den Lösungsweg Schritt für Schritt kennen.
Wir lösen eine Potenzgleichung, indem wir die Gleichung zuerst so umformen, sodass der Potenzterm alleine auf einer Seite steht. So haben wir in unserer Beispielgleichung \(4\) an beide Seiten addiert.
Schau beim Lösen der Potenzgleichung genau auf den Exponenten. Ist dieser gerade, dann erhalten wir immer 2 Lösungen und bei ungeradem Exponenten erhalten wir genau eine. In unserem Beispiel ist der Exponent \(n=3\), weshalb wir genau eine Lösung erhalten.
Wenn wir nun den isolierten Potenzterm haben, ziehen wir auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel und lösen anschließend die so entstandene Gleichung. Achte darauf, dass das Wurzelziehen keine Äquivalenzumformung darstellt. Hier siehst du, wie wir für unser Beispiel \(x=1\) erhalten.
Die ausgerechneten Lösungen für \(x\) müssen wir nun in unsere Ursprungsgleichung einsetzen. Da wir eine Wurzel gezogen haben, müssen wir überprüfen, ob diese tatsächlich Lösungen der Potenzgleichung sind. Setzen wir \(x=1\) in unsere Beispielgleichung ein, ergibt sich eine wahre Aussage, weshalb \(x=1\) eine gültige Lösung darstellt.
Übungen mit Lösung
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1 Was ist der erste Schritt beim Lösen der Potenzgleichung \((4x+3)^3+3=67\)?
Wir isolieren zuerst den Potenzterm, indem wir von beiden Seiten der Gleichung 3 subtrahieren.
2 Was ist der erste Schritt beim Lösen der Potenzgleichung \((2x+1)^3=27\)?
Wir ziehen von beiden Seiten der Gleichung die dritte Wurzel, sodass wir \(2x+1=3\) erhalten.
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Potenz von Gleichungen?
Um eine Potenzgleichung zu lösen, isolierst du zuerst den Potenzterm, wie in \((2x+1)^3-4=23\) durch Addition von 4 zu \((2x+1)^3=27\). Dann ziehst du die entsprechende Wurzel, hier die dritte Wurzel, und erhältst \(2x+1=3\), woraus \(x=1\) folgt. Bei geradem Exponenten gibt es zwei Lösungen, bei ungeradem eine. Abschließend setzt du die Lösung in die Ausgangsgleichung ein, um sie zu überprüfen.
Was sind Potenzgleichungen?
Potenzgleichungen sind Gleichungen der Form \((ax+b)^n+c=d\), bei denen die Variable \(x\) in einer Potenz mit Exponent \(n\) vorkommt. Sie werden gelöst, indem man den Potenzterm isoliert, die entsprechende Wurzel zieht und die Lösung durch Einsetzen überprüft. Dabei gilt: Bei geradem Exponenten gibt es zwei Lösungen, bei ungeradem eine.
Kann ChatGPT Gleichungen lösen?
Das Material dieser Seite behandelt ausschließlich das Lösen von Potenzgleichungen und enthält keine Informationen über die Fähigkeiten von ChatGPT. Daher reicht das Material nicht aus, um die Frage zu beantworten.
Wie löse ich eine Potenzgleichung?
Um eine Potenzgleichung zu lösen, isolierst du zuerst den Potenzterm, indem du die Gleichung umformst. Dann ziehst du die entsprechende Wurzel, wobei du beachtest, dass ein gerader Exponent zwei Lösungen und ein ungerader Exponent eine Lösung liefert. Anschließend löst du die entstandene Gleichung und setzt die berechneten \(x\)-Werte in die Ausgangsgleichung ein, um zu überprüfen, ob sie die Potenzgleichung erfüllen.
Wie lautet die Formel für die Potenzregel?
Die Potenzregel zum Lösen von Potenzgleichungen lautet: Man isoliert den Potenzterm, zieht dann die Wurzel und setzt schließlich den berechneten \(x\)-Wert in die Ausgangsgleichung ein. Bei geradem Exponenten erhält man zwei Lösungen, bei ungeradem eine.