Lösen durch Multiplizieren mit dem Hauptnenner
Bruchgleichungen Hauptnenner in drei bis vier Schritten: erst die Idee, dann die Rechnung, dann ein paar Übungen mit Lösung.
Um eine Bruchgleichung mit dem Multiplizieren des Hauptnenners zu lösen, müssen wir zuerst alle Nenner in der Bruchgleichung analysieren und das kleinste gemeinsame Vielfache, also den Hauptnenner, berechnen. So ist in der zu sehenden Gleichung das \(kgV\) das Produkt der beiden Nenner.
Sobald wir den Hauptnenner ermittelt haben, multiplizieren wir jede Seite der Gleichung damit. Auf diese Weise kürzen sich die einzelnen Brüche jeweils um den passenden Teil des Hauptnenners.
Nachdem du gekürzt hast, musst du nur noch die übrige lineare Gleichung lösen, wie du es schon gewohnt bist. Mit der Rechnung im Arbeitsbereich erhalten wir dann für unsere Bruchgleichung die Lösung \(x=7\). Beachte, dass der Nenner der Bruchgleichung für \(x=1\) und \(x=-2\) gleich Null ist und damit nicht definiert. Da unsere Lösung \(x=7\) ist, ist sie gültig.
Übungen mit Lösung
Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.
1 Wenn wir den Hauptnenner einer Bruchgleichung gefunden haben, was ist dann unser nächster Schritt?
Wir multiplizieren jede Seite der Gleichung mit dem Hauptnenner.
2 Was ist in der Gleichung \(\begin{align}\frac{2}{\left(x+3\right)}=\frac{3}{\left(x-2\right)}\end{align}\) der Hauptnenner?
Der Hauptnenner ist \((x+3)\cdot(x-2)\).
Häufige Fragen
Wie löse ich eine Bruchgleichung?
Um eine Bruchgleichung zu lösen, multiplizierst du beide Seiten mit dem Hauptnenner, also dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner. Dadurch kürzen sich die Brüche, und du erhältst eine lineare Gleichung, die du wie gewohnt löst. Beispiel: \(\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x+2}\) führt über den Hauptnenner \((x-1)(x+2)\) zur Gleichung \(2(x+2)=3(x-1)\) und schließlich zur Lösung \(x=7\). Beachte, dass die Lösung nicht die Nenner zu Null machen darf.
Wie löst man Bruchungleichungen?
Das Material dieser Seite behandelt ausschließlich das Lösen von Bruchgleichungen, nicht von Bruchungleichungen. Daher reicht das Material dieser Seite nicht aus, um die Frage zu beantworten.
Wie kann man Bruchgleichungen regeln?
Um Bruchgleichungen zu lösen, multipliziert man beide Seiten mit dem Hauptnenner, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner. Dadurch kürzen sich die Brüche, und man erhält eine lineare Gleichung, die mit bekannten Methoden gelöst wird. Anschließend prüft man, ob die Lösung die Nenner nicht zu Null macht, da die Bruchgleichung dort nicht definiert ist.
Was ist eine Bruchgleichung?
Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, die Brüche mit Unbekannten im Nenner enthält. Sie wird gelöst, indem man den Hauptnenner (das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner) findet und beide Seiten der Gleichung damit multipliziert. Dadurch fallen die Brüche weg, und man erhält eine einfachere Gleichung, die mit bekannten Methoden gelöst werden kann.