Theoretische Varianz und Standardabweichung
Noch unsicher beim Thema Standardabweichung Formel? Diese Seite liefert dir eine verständliche Definition und klärt die wichtigsten Begriffe.
Die theoretischen Streuungsmaße Varianz \(V(X)\) und Standardabweichung \(\sigma\) sind statistische Kenngrößen, die die Streuung von Ergebnissen einer Zufallsvariablen \(X\) um ihren Erwartungswert \(\mu\) beschreiben.
Die theoretische Varianz \(V(X)\) gibt an, wie stark mögliche Ergebnisse im Durchschnitt vom Erwartungswert \(\mu\) abweichen, indem sie die mittlere quadratische Abweichung der Werte vom Erwartungswert berechnet.
Du berechnest die Varianz, indem du für jedes Ergebnis \(x_i\) zunächst die Abweichung vom Erwartungswert \(\mu\) bestimmst. Anschließend quadrierst du diese Abweichungen \((x_i-\mu)^2\). Das Quadrieren sorgt dafür, dass alle Abweichungen positiv werden und größere Abweichungen stärker ins Gewicht fallen.
Nach dem Quadrieren multiplizierst du jede quadrierte Abweichung mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit \(p_i\), die zu \(x_i\) gehört. Dann addierst du diese Produkte für alle \(i\), um die theoretische Varianz zu erhalten. Hier noch die entsprechende Formel der Varianz.
Die Standardabweichung \(\sigma\) ist, genau wie die Varianz, ein Maß für die Streuung einer Zufallsvariable \(X\) um ihren Erwartungswert \(\mu\). Da sie die Quadratwurzel der Varianz ist, gibt sie die Streuung in der gleichen Einheit wie die ursprünglichen Daten an. Hier ist dazu die Formel.
Übungen mit Lösung
Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.
1 Was bedeutet es, wenn die Varianz eines Datensatzes hoch ist?
Eine hohe Varianz bedeutet, dass die Werte in dem Datensatz stärker um den Erwartungswert streuen.
2 Wie lautet die Formel zur Bestimmung der Varianz?
\(V=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot p_i\)
3 Wie lautet die Formel zur Berechnung der Standardabweichung?
\(\sigma=\sqrt V=\sqrt{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot p_i}\)
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Standardabweichung?
Die Standardabweichung \(\sigma\) berechnet man, indem man die Quadratwurzel aus der Varianz \(V(X)\) zieht: \[\sigma=\sqrt{V(X)}=\sqrt{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot p_i}\]. Zuerst berechnet man die Varianz, indem man für jedes Ergebnis \(x_i\) die quadrierte Abweichung vom Erwartungswert \((x_i-\mu)^2\) mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit \(p_i\) multipliziert und alle Produkte aufsummiert.
Ist die Standardabweichung gleich Sigma?
Ja, in der Statistik wird die Standardabweichung einer Zufallsvariablen \(X\) üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben \(\sigma\) (Sigma) bezeichnet. Die Standardabweichung \(\sigma\) ist definiert als die Quadratwurzel der Varianz: \(\sigma = \sqrt{V(X)}\).
Was sagt die Standardabweichung aus Beispiel?
Die Standardabweichung \(\sigma\) gibt an, wie stark die Ergebnisse einer Zufallsvariablen \(X\) im Durchschnitt um den Erwartungswert \(\mu\) streuen. Sie ist die Quadratwurzel der Varianz und wird in derselben Einheit wie die ursprünglichen Daten angegeben. Ein Beispiel: Wenn die Varianz \(V(X)=4\) ist, dann beträgt die Standardabweichung \(\sigma=2\), was bedeutet, dass die Ergebnisse typischerweise etwa 2 Einheiten vom Erwartungswert abweichen.
Wann Stabw N und wann Stabw S?
Die Unterscheidung zwischen Stabw N und Stabw S bezieht sich auf die Berechnung der Standardabweichung für eine Grundgesamtheit (N) oder eine Stichprobe (S). Das vorliegende Material behandelt jedoch nur die theoretische Standardabweichung \(\sigma\) einer Zufallsvariablen, die für die gesamte Grundgesamtheit definiert ist. Für die Stichproben-Standardabweichung (Stabw S) reicht das Material dieser Seite nicht aus.