Empirische Varianz und Standardabweichung
Standardabweichung berechnen: So gehst du Schritt für Schritt vor. Jede Rechnung wird nachvollziehbar aufgeschlüsselt.
Die empirischen Streuungsmaße Varianz \(s^2\) und Standardabweichung \(s\) sind statistische Kenngrößen, die die Streuung von Messwerten einer Datenreihe ohne Wahrscheinlichkeiten um ihren Mittelwert \(\overline{x}\) beschreiben.
Die empirische Varianz \(s^2\) gibt an, wie stark die einzelnen Werte im Durchschnitt vom Mittelwert \(\overline{x}\) abweichen, indem sie die durchschnittliche quadratische Abweichung der Werte vom Mittelwert berechnet.
Du berechnest die empirische Varianz, indem du für jeden Messwert \(x_i\) zunächst die Abweichung vom Mittelwert bestimmst. Anschließend quadrierst du diese Abweichungen \((x_i-\overline{x})^2\). Das Quadrieren sorgt dafür, dass alle Abweichungen positiv werden und größere Abweichungen stärker ins Gewicht fallen.
Nach dem Quadrieren der Abweichungen vom Mittelwert addierst du alle quadrierten Abweichungen und teilst die Summe durch die Anzahl der Messwerte \(n\). Das Ergebnis ist die empirische Varianz.
Die empirische Standardabweichung \(s\) ist, genau wie die Varianz, ein Maß für die Streuung der Werte in einem Datensatz um den Mittelwert \(\overline{x}\). Da sie die Quadratwurzel der empirischen Varianz ist, gibt sie die Streuung in der gleichen Einheit wie die ursprünglichen Daten an. Hier ist dazu die Formel.
Häufige Fragen
Wie rechne ich die Standardabweichung?
Die Standardabweichung berechnest du, indem du zunächst die empirische Varianz \(s^2\) bestimmst: Dazu ziehst du von jedem Messwert \(x_i\) den Mittelwert \(\overline{x}\) ab, quadrierst die Differenz \((x_i-\overline{x})^2\), summierst alle quadrierten Abweichungen und teilst durch die Anzahl der Messwerte \(n\). Anschließend ziehst du die Quadratwurzel aus der Varianz: \(s = \sqrt{s^2}\). Die Standardabweichung gibt die Streuung in derselben Einheit wie die ursprünglichen Daten an.
Wie groß ist die Standardabweichung von 5, 9, 8, 12, 6, 10, 6, 8?
Um die Standardabweichung zu berechnen, benötigst du zunächst den Mittelwert der Daten. Für die Werte 5, 9, 8, 12, 6, 10, 6, 8 beträgt der Mittelwert \(\overline{x} = 8\). Dann berechnest du die quadrierten Abweichungen vom Mittelwert, summierst sie und teilst durch die Anzahl der Werte, um die Varianz zu erhalten: \(s^2 = \frac{1}{8}[(5-8)^2 + (9-8)^2 + \dots] = 5\). Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz: \(s = \sqrt{5} \approx 2{,}236\).
Was ist eine gute Standardabweichung?
Das Material dieser Seite definiert die Standardabweichung als Maß für die Streuung von Messwerten um ihren Mittelwert, gibt aber keine Bewertungskriterien vor, ab wann eine Standardabweichung als „gut“ oder „schlecht“ einzustufen ist. Dafür reicht das Material dieser Seite nicht aus.
Wie berechnet man die Standardabweichung am schnellsten?
Die Standardabweichung berechnest du am schnellsten, indem du zuerst die Varianz bestimmst und dann die Quadratwurzel ziehst. Die Varianz \(s^2\) ist die durchschnittliche quadratische Abweichung der Messwerte vom Mittelwert: \(s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2\). Anschließend erhältst du die Standardabweichung \(s\) als \(s=\sqrt{s^2}\).