Berechnungen mit dem Streckungsfaktor k und Hauptähnlichkeitssatz

Berechnungen mit dem Streckungsfaktor k

Merke dir, dass du die Länge einer unbekannten Seite einer ähnlichen Bildfigur \(a'\) berechnest, indem du die entsprechende Seite \(a\) mit dem Streckungsfaktor \(k\) multiplizierst. Eine Fläche \(A\) musst du mit \(k^2\) und ein Volumen \(V\) mit \(k^3\) multiplizieren.

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Der Streckungsfaktor \(k\) beschreibt, wie stark eine Figur vergrößert oder verkleinert wird, wenn du von einer Figur zu einer ähnlichen Figur gelangen möchtest. Um den Streckungsfaktor \(k\) zu berechnen, teilst du die Länge einer Seite der Bildfigur \(a'\), durch die entsprechende Seite \(a\) der Ausgangsfigur, wie du es hier in der Formel siehst.

\begin{align}k=\frac{a'}a\end{align}

Um die Länge einer unbekannten Seite einer Bildfigur \(a'\) zu berechnen, multiplizierst du die entsprechende Seite \(a\) der Ausgangsfigur mit dem Streckungsfaktor \(k\).

a'=a\cdot k

Wenn du die Fläche \(A'\) einer Bildfigur berechnen möchtest, multiplizierst du die Fläche des Ausgangsfigur \(A\) mit \(k^2\). Wir multiplizieren mit \(k^2\), da Flächen zweidimensional sind.

A'=A\cdot k^2

Wenn du das Volumen \(V'\) eines ähnlichen projizierten Körpers berechnen möchtest, multiplizierst du das Volumen des Ausgangskörpers \(V\) mit \(k^3\). Wir multiplizieren mit \(k^3\), da Volumen dreidimensional sind.

V'=V\cdot k^3

Übungen mit Lösung

Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.

1 Das Volumen eines Körper beträgt \(6\ cm^3\). Das Volumen des projizierten Körpers beträgt \(48\ cm^3\). Wie groß ist der Streckungsfaktor \(k\)?

Lösung

Der Streckungsfaktor beträgt \(k=2\), da \(k^3=\frac{48\ cm^3}{6\ cm^3}=8\) ist.

2 Eine Figur wird mit dem Streckungsfaktor \(k=2\) vergrößert. Ihre ursprüngliche Fläche beträgt \(4\ cm^2\). Wie groß ist die Fläche der Bildfigur?

Lösung

Die Bildfläche der Figur ist \(16\ cm^2\) groß.

3 Eine Seite einer Figur ist \(5\ cm\) lang. Die entsprechende Seite der Bildfigur misst \(15\ cm\). Wie groß ist der Streckungsfaktor \(k\)?

Lösung

Der Steckungsfaktor ist \(k=\frac{15\ cm}{5\ cm}=3\).

Hauptähnlichkeitssatz

Präge dir ein, dass laut dem Hauptähnlichkeitssatz zwei Dreiecke ähnlich sind, wenn sie in 2 Winkeln übereinstimmen.

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So geht’s

Der Hauptähnlichkeitssatz besagt, dass zwei Dreiecke ähnlich sind, wenn sie in 2 Winkeln übereinstimmen. Das bedeutet, die Form der Dreiecke ist gleich, aber ihre Größe kann unterschiedlich sein. Hier siehst du, wie wir das mathematisch notieren.

\begin{align}&\triangle ABC\sim\triangle DEF,\text{ wenn:}\\&\alpha=\alpha'\text{ und }\beta=\beta'\text{ gilt.}\end{align}

Übungen mit Lösung

Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.

1 Die Dreiecke \(\triangle ABC\) und \(\triangle DEF\) haben je zwei gleiche Winkel. Wie sieht die mathematische Notation für die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke aus?

Lösung

Wir schreiben dafür \(\triangle ABC\sim \triangle DEF\).

2 In einem Dreieck betragen zwei Innenwinkel 40° und 60°. Ein anderes Dreieck hat ebenfalls einen Innenwinkel mit 60° und einen mit 40°. Sind die beiden Dreiecke ähnlich?

Lösung

Ja, da sie zwei übereinstimmende Winkel besitzen.