Kombinatorische Zählverfahren bei mehrstufigen Zufallsexperimenten
Was ist Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge? In den folgenden Abschnitten findest du die Antwort – kompakt und leicht nachvollziehbar.
Ziehen mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge
Präge dir für die Berechnung der Anzahl der Ergebnisse bei einem Zufallsexperiment mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge die folgende Gleichung ein: \(\text{Anzahl der Ergebnisse}=n^k\).
Bei einem Zufallsexperiment mit Zurücklegen bleibt die Anzahl der möglichen Ergebnisse bei jedem Zug gleich, weil die Ausgangssituation sich nicht ändert. Da wir beim Ziehen die Reihenfolge mit beachten, macht es einen Unterschied, ob du beispielsweise zuerst ein Objekt \(A\) und dann ein Objekt \(B\) ziehst, oder erst \(B\) und dann \(A\).
Die Anzahl der möglichen Ergebnisse lässt sich mit der zu sehenden Formel berechnen. So ist \(k\) die Anzahl der Ziehungen und \(n\) die Möglichkeiten pro Zug.
Übungen mit Lösung
Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.
1 Du hast drei verschiedenfarbige Kugeln in einer Urne. Du ziehst zweimal nacheinander mit Zurücklegen und beachtest die Reihenfolge. Wie viele verschiedene Ergebnisse sind möglich?
\(3^2=9\), also sind 9 Ergebnisse möglich.
2 Du wirfst eine Münze dreimal hintereinander und beachtest die Reihenfolge der Wurfergebnisse. Wie viele verschiedene Ergebnisse sind möglich?
\(2^3=8\), also sind 8 Ergebnisse möglich.
Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge
Präge dir ein: Bei einem Zufallsexperiment mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge verwenden wir die folgende Gleichung: \(\begin{align}\text{Anzahl der Ergebnisse} = \binom{n + k - 1}{k}\end{align}\).
Bei einem Zufallsexperiment mit Zurücklegen bleibt die Anzahl der möglichen Ergebnisse bei jedem Zug gleich, weil die Ausgangssituation sich nicht ändert. Da wir beim Ziehen nicht auf die Reihenfolge achten, ist es egal in welcher Reihenfolge die gezogenen Objekte auftreten. So ist das Ergebnis „Rot–Blau“ dasselbe wie „Blau–Rot“.
Die Anzahl der möglichen Ergebnisse lässt sich mit der angegebenen Formel berechnen. Dabei ist \(n\) die Anzahl der Möglichkeiten pro Zug und \(k\) ist die Anzahl der Ziehungen.
Übungen mit Lösung
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1 Du wirfst eine Münze viermal hintereinander und beachtest die Reihenfolge der Wurfergebnisse nicht. Wie viele verschiedene Ergebnisse sind möglich?
\(\frac{(2+4-1)!}{4!\cdot(2-1)!}=\frac{5\cdot\strikethrough{4!}}{\strikethrough{4!}\cdot1!}=\frac{5}{1}=5\), also sind 5 Ergebnisse möglich.
2 Du hast drei verschiedenfarbige Kugeln in einer Urne. Du ziehst zweimal mit Zurücklegen, beachtest aber nicht die Reihenfolge. Wie viele verschiedene Ergebnisse sind möglich?
\(\frac{(3+2-1)!}{2!\cdot(3-1)!}=\frac{4!}{2!\cdot2!}=\frac{24}{4}=6\), also sind 6 Ergebnisse möglich.
Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge
Merke dir, dass bei einem Zufallsexperiment ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge folgende Gleichung gilt: \(\begin{align}\text{Anzahl der Ergebnisse} = \frac{n!}{(n - k)!}\end{align}\).
Bei einem Zufallexperiment ohne Zurücklegen verringert sich bei jedem Zug die Anzahl der verfügbaren Objekte um eins. Jedes Objekt wird somit maximal einmal gezogen. Da wir beim Ziehen die Reihenfolge beachten, werden zum Beispiel die Ergebnisse \(A–B\) und \(B–A\) als zwei unterschiedliche Ergebnisse betrachtet.
Wir berechnen die Anzahl der Ergebnisse mit der zu sehenden Formel, wobei \(n\) die Gesamtzahl der Objekte ist und \(k\) die Anzahl der Ziehungen.
Übungen mit Lösung
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1 Vier Freunde stehen zur Auswahl, um nacheinander zwei Aufgaben zu übernehmen. Jeder Freund darf nur einmal ausgewählt werden und die Reihenfolge ist wichtig. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die beiden Aufgaben zu vergeben?
\(\frac{4!}{(4-2)!}=\frac{4\cdot3\cdot\strikethrough{2!}}{\strikethrough{2!}}=12\), also gibt es 12 Möglichkeiten.
2 In einer Box befinden sich 5 verschiedenfarbige Kugeln. Du ziehst zweimal ohne Zurücklegen und beachtest dabei die Reihenfolge. Wie viele verschiedene Ergebnisse sind möglich?
\(\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{5\cdot4\cdot\strikethrough{3!}}{\strikethrough{3!}}=20\), also sind 20 Kombinationen möglich.
Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge
Merke dir, dass bei einem Zufallsexperiment ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge folgende Gleichung gilt: \(\begin{align}\text{Anzahl der Ergebnisse} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}\end{align}\)
Bei einem Zufallexperiment ohne Zurücklegen verringert sich bei jedem Zug die Anzahl der verfügbaren Objekte um eins. Jedes Objekt wird somit maximal einmal gezogen. Da wir die Reihenfolge nicht beachten, ist es egal, in welcher Reihenfolge du die Objekte ziehst. Das Ergebnis \(A–B\) ist also genau dasselbe wie \(B–A\).
Wir berechnen die Anzahl der Ergebnisse mit der zu sehenden Formel, wobei \(n\) die Gesamtzahl der Objekte und \(k\) die Anzahl der Ziehungen ist.
Übungen mit Lösung
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1 Ein Trainer möchte aus 6 Spielerinnen jeweils Teams aus 2 Personen bilden. Dabei ist nur entscheidend, wer im Team ist, nicht in welcher Reihenfolge sie genannt werden. Pro Team darf jede Person nur einmal gewählt werden. Wie viele verschiedene Teamkombinationen sind möglich?
\(\frac{6!}{2!\cdot(6-2)!}=\frac{6\cdot5\cdot\strikethrough{4!}}{2\cdot1\cdot\strikethrough4!}=\frac{30}{2}=15\), also sind 15 Kombinationen möglich.
2 In einer Urne liegen 5 verschiedenfarbige Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln ohne Zurücklegen. Dabei ist dir egal, in welcher Reihenfolge du die Kugeln ziehst. Wie viele verschiedene Kombinationen sind möglich?
\(\frac{5!}{2!\cdot(5-2)!}=\frac{5\cdot4\cdot\strikethrough{3!}}{2\cdot1\cdot\strikethrough3!}=\frac{20}{2}=10\), also sind 10 Kombinationen möglich.