Zentrische Streckung
Zentrische Streckung einfach erklärt: Definition, typische Schreibweisen und ein paar Beispiele zur Orientierung.
Bei einer zentrischen Streckung wird eine Figur vom Streckungszentrum aus um den Streckungsfaktor \(k\) vergrößert oder verkleinert. Jeder Punkt der Figur verschiebt sich auf dem Strahl, der durch das Zentrum geht. Die Winkel bleiben dabei unverändert. Ist \(k>1\), so wird die Figur vergrößert. In der Grafik ist das für den Streckungsfaktor \(k=2\) zu sehen.
Bei einem Streckungsfaktor von \(0< k<1\) wird die Figur verkleinert, wie du es in der Grafik für \(k=0,5\) sehen kannst.
Bei einem Streckungsfaktor von \(k<0\) wird die Figur zusätzlich um \(180^\circ\) gedreht, wie es für \(k=-1\) gezeigt ist.
Da wir als Streckungszentrum immer \(Z(0|0)\) wählen, können wir die Position des gestreckten Punktes \(P'\) bestimmen. Dazu multiplizieren wir die Koordinaten des ursprünglichen Punkts \(P\) mit dem Streckungsfaktor \(k\). So siehst du es hier für \(P(3|2)\) und \(k=2\).
Übungen mit Lösung
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1 Was passiert mit einer Figur bei einer zentrischen Streckung, wenn \(k<0\) ist?
Die Figur wird um 180 Grad gedreht.
2 Wenn eine Figur durch eine zentrische Streckung mit dem Faktor 0,5 verändert wird, wird die Figur dann vergrößert, verkleinert oder behält sie ihre Größe?
Die Figur wird bei einem Streckungsfaktor von 0,5 verkleinert.
Häufige Fragen
Wie bekomme ich den Streckfaktor raus?
Um den Streckungsfaktor \(k\) zu bestimmen, teilst du die Koordinaten eines Bildpunktes \(P'\) durch die Koordinaten des ursprünglichen Punktes \(P\). Aus dem Material: \(k \cdot P = P'\), also \(k = \frac{P'}{P}\). Beispiel: Aus \(2 \cdot (3|2) = (6|4)\) folgt \(k = \frac{(6|4)}{(3|2)} = 2\).
Was ist, wenn der Streckfaktor 0,5 ist?
Wenn der Streckfaktor \(k = 0,5\) ist, wird die Figur verkleinert, da \(0 < k < 1\). Jeder Punkt der Figur verschiebt sich auf dem Strahl durch das Streckungszentrum, und die Winkel bleiben unverändert.
Was ist der Streckungsfaktor k?
Der Streckungsfaktor \(k\) definiert das Ausmaß der Veränderung bei einer zentrischen Streckung. Ist \(k>1\), wird die Figur vergrößert; bei \(0<k<1\) wird sie verkleinert. Bei \(k<0\) wird die Figur zusätzlich um \(180^\circ\) gedreht. Die Koordinaten des gestreckten Punktes erhält man, indem man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes mit \(k\) multipliziert.
Was sind die Eigenschaften der zentrischen Streckung?
Bei einer zentrischen Streckung wird eine Figur vom Streckungszentrum aus um den Streckungsfaktor \(k\) vergrößert oder verkleinert. Die Winkel bleiben dabei unverändert. Ist \(k>1\), wird die Figur vergrößert; bei \(0<k<1\) wird sie verkleinert. Bei \(k<0\) wird die Figur zusätzlich um \(180^\circ\) gedreht.
Wie lautet die Streckformel?
Die Streckformel lautet \(k \cdot P = P'\). Dabei werden die Koordinaten des ursprünglichen Punkts \(P\) mit dem Streckungsfaktor \(k\) multipliziert, um die Koordinaten des gestreckten Punkts \(P'\) zu erhalten. Ein Beispiel: \(2 \cdot (3|2) = (6|4)\).