Satz über Gegenwinkel im Sehnenviereck: Überblick mit Beispielen

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Der Satz über Gegenwinkel im Sehnenviereck besagt, dass sich Gegenwinkel stets zu \(180°\) ergänzen. So ist die Summe von \(\alpha\) und \(\gamma\) immer \(180°\), sowie die Summe von \(\beta\) und \(\delta\) immer \(180°\). So sehen wir das auch in unserem Beispielviereck.

\begin{align}\alpha+\gamma&=180^\circ\\\Rightarrow75^\circ+105^\circ&=180^\circ\\\beta+\delta&=180^\circ\\\Rightarrow80^\circ+100^\circ&=180^\circ\end{align}

Für die Umkehrung des Satzes über Gegenwinkel im Sehnenviereck gilt, dass wenn ein Viereck gegenüberliegende Winkel besitzt, die zusammen jeweils genau \(180°\) ergeben, dann ist dieses Viereck zwingend ein Sehnenviereck.

\begin{align}110^\circ&+70^\circ=180^\circ\\85^\circ&+95^\circ=180^\circ\\&\Rightarrow\text{Sehnenviereck}\end{align}

So liegen alle Eckpunkte des Vierecks auf einem gemeinsamen Kreis. Das ist auch gut in der Grafik zu erkennen.

Übungen mit Lösung

Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.

1 In einem Sehnenviereck betragen die Winkel \(\alpha=75^\circ\) und \(\beta=115^\circ\). Wie groß ist der Winkel \(\delta\)?

Lösung

Da \(\delta=180^\circ-\beta\) gilt, ist \(\delta=65^\circ\) groß.

2 In einem Sehnenviereck betragen die Winkel \(\alpha=75^\circ\) und \(\beta=85^\circ\). Wie groß ist der Winkel \(\gamma\)?

Lösung

Da \(\gamma=180^\circ-\alpha\) gilt, ist \(\gamma=105^\circ\) groß.