Definition des natürlichen Logarithmus und Definition des dekadischen Logarithmus
Dekadischer Logarithmus im Überblick: was du wissen solltest, wie alles zusammenhängt und wo du weiterlernen kannst.
Definition des natürlichen Logarithmus
Präge dir ein, dass wir \(e^x=a\) lösen, indem wir den natürlichen Logarithmus \(\ln\) auf beide Seiten anwenden und damit die Lösung \(x=\ln(a)\) erhalten.
Der natürliche Logarithmus \(\ln\) hat immer die Eulersche Zahl \(e\) als Basis. Du wirst meistens nur die Bezeichnung \(\ln(x)\) vorfinden.
Der natürliche Logarithmus \(\ln(\ )\) ist die Gegenoperation von \(e^{(\ )}\). Mit dieser Eigenschaft gilt immer \(\ln(e^x)=x\) und \(e^{\ln(x)}=x\).
Um nun eine Exponentialgleichung der Form \(e^x=a\) zu lösen, wendet man den natürlichen Logarithmus auf beide Seiten an. Dadurch erhält man unmittelbar die Lösung \(x=\ln(a)\). Hier siehst du die Umrechnung dazu.
Übungen mit Lösung
Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.
1 Welche Basis hat der natürliche Logarithmus \(\ln\)?
Die Eulersche Zahl \(e\).
2 Was ist der natürliche Logarithmus?
Der natürliche Logarithmus von einer Zahl ist der Exponent, den man hoch \(e\) nehmen muss, um diese Zahl zu erhalten.
3 Was ist in der Gleichung \(\ln(e)=x\) das \(x\)?
\(\ln(e)=1\)
Definition des dekadischen Logarithmus
Merke dir, dass wir \(10^x=a\) lösen können, indem wir den dekadischen Logarithmus \(\lg(\ )\) auf beide Seiten anwenden und damit die Lösung \(x=\lg(a)\) erhalten.
Der dekadische Logarithmus \(\lg(x)\) ist der Logarithmus zur Basis 10. Also können wir immer \(\log_{10}(x)\) mit dem dekadischen Logarithmus ersetzen.
Der dekadische Logarithmus \(\lg(x)\) ist die Gegenoperation zur Zehnerpotenz \(10^x\). So gilt immer \(\lg(10^x)=x\) und \(10^{\lg(x)}=x\). Er gibt an, mit welcher Potenz die Basis 10 potenziert werden muss, um \(x\) zu erhalten.
Um nun eine Exponentialgleichung der Form \(10^x=a\) zu lösen, wendet man den dekadischen Logarithmus auf beide Seiten an. Dadurch erhält man unmittelbar die Lösung \(x=\lg(a)\). Hier siehst du die Umrechnung dazu.
Übungen mit Lösung
Klick auf eine Aufgabe, um die Lösung anzuzeigen.
1 Welche Basis hat der dekadische Logarithmus \(\lg\)?
Die Zahl 10
2 Was erhalten wir als Ergebnis wenn wir \(\lg(10^2)\) rechnen?
2